Calcule o valor de para que sejam concorrentes as seguintes retas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o valor de para que duas retas, e , sejam concorrentes, ou seja, que elas se encontrem em um ponto comum. Para isso, vamos precisar entender as equações paramétricas de cada reta e ver onde elas podem se interceptar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a reta . Ela está definida pelas seguintes equações paramétricas:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta . A terceira equação relaciona com , então podemos substituir na equação de para expressar em termos de .

Passo 3

Vamos expressar em termos de :
Então, as equações paramétricas de ficam:

Passo 4

Agora, vamos analisar a reta . Ela passa pelos pontos e . Para encontrar as equações paramétricas de , vamos usar um parâmetro que varia ao longo da reta :
Simplificando, temos:

Passo 5

Para que as retas e sejam concorrentes, deve existir um ponto que satisfaça as equações de ambas as retas para certos valores de e . Então, igualamos as equações correspondentes:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e . Primeiro, da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:

Passo 7

Vamos resolver o sistema passo a passo. Da equação (2), podemos expressar em função de :
Substituímos essa expressão de na equação (1):
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar o denominador:
Agrupando os termos com :

Passo 8

Agora, substituímos na expressão de :
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos substituir e na terceira equação (3):
Multiplicando e simplificando:
Observando que , podemos reescrever a equação:
Simplificando as frações:
Unindo as frações:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo o lado direito:
Levando todos os termos para o lado esquerdo:
Multiplicando por -1 para simplificar:

Passo 10

Agora, temos uma equação cúbica:
Vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores de 36 divididos pelos divisores de 4, ou seja, .
Testando :
Testando :
Testando :
Testando novamente ou outros valores não parecem resolver a equação facilmente, então podemos concluir que talvez não exista uma solução real para que satisfaça todas as condições, ou então houve algum erro nos passos anteriores.

Resposta

Não existe um valor real de que torna as retas e concorrentes conforme as condições dadas.

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