Seja uma matriz linha equivalente à matriz identidade . Mostre que é inversível.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão fala sobre uma matriz quadrada de ordem que é linha equivalente à matriz identidade de mesma ordem. Basicamente, precisamos mostrar que essa matriz tem uma inversa, ou seja, que existe uma matriz tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre equivalência de linhas e invertibilidade de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser linha equivalente à identidade. Duas matrizes são linha equivalentes se podemos transformar uma na outra através de operações elementares de linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero, ou somar múltiplos de uma linha a outra linha).

Passo 3

Sabemos que a matriz identidade é uma matriz invertível, e sua própria inversa. Se é linha equivalente a , isso significa que podemos transformar na identidade usando operações de linha. Essas mesmas operações podem ser aplicadas a para obter , o que implica que também deve ser invertível.

Passo 4

Mais formalmente, se existe uma sequência de operações de linha que transforma em , então multiplicar por uma matriz obtida dessas operações de linha resultará em . Essa matriz de operações de linha é justamente a inversa de , ou seja, .

Passo 5

Portanto, já que conseguimos relacionar com uma matriz invertível (a identidade) através de operações de linha, concluímos que também é invertível.

Resposta

A matriz é inversível porque é linha equivalente à matriz identidade , o que garante a existência de tal que .

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c) As retas por: saao dadas por:
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