Determinar o ^angulo entre as seguintes retas:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que determinar o ângulo entre duas retas dadas pelas equações fornecidas. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente o cálculo do ângulo entre duas retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e usar a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar as equações das retas. Parece que elas estão escritas de forma um pouco confusa, então vamos tentar reescrever de maneira mais clara. Supondo que as equações estejam no formato paramétrico, podemos ter:
Aqui, é o parâmetro para cada reta.

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores das retas. O vetor diretor de uma reta representa a direção da reta e pode ser obtido a partir das equações paramétricas.
Para :
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de :
Para :
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de :

Passo 4

Com os vetores diretores identificados, podemos usar a fórmula do ângulo entre dois vetores:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são os módulos (normas) dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores:
Para :
Para :

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula do ângulo:
Para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno:

Passo 8

Calculando o valor numérico:

Resposta

O ângulo entre as retas e é aproximadamente .

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Verdadeiro ou Falso? No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(h) Se , então ;
Verdadeiro ou Falso? No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(f) ;
Encontre a distancia entre as retas e : e
b) e .
Calcule o valor de para que sejam concorrentes as seguintes retas: