Encontre a distancia entre as retas r1 e r2: r1: x=2-t, y=3+t, z=1-2 t e r2: x=y+1-3=z2
b) r1: x=t+1, y=t+2, z=-2 t-2 e r2: y=3 x+1, z=-4 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a distância entre duas retas no espaço. A matéria que vamos usar aqui é geometria analítica, e para isso, vamos precisar usar vetores e calcular produtos vetoriais e escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas de forma mais clara. A reta r1: x = t + 1 y = t + 2 z = -2t - 2 está parametrizada por:
r2: y = 3x + 1 e z = -4x
Aqui, r2: x = s y = 3s + 1 z = -4s é o parâmetro.
A reta está dada por:
Podemos também parametrizar usando o parâmetro :
Agora, identificamos um ponto em cada reta e seus vetores diretores. Para :
  • Ponto (quando )
  • Vetor diretor
Para :
  • Ponto (quando )
  • Vetor diretor

Passo 3

A fórmula para calcular a distância d = |(b - a) cdot (u times v)||u times v| entre duas retas no espaço é:
Aqui, representa o produto vetorial e o produto escalar.

Passo 4

Vamos calcular b - a = (0 - 1, 1 - 2, 0 - (-2)) = (-1, -1, 2) :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial u times v = i & j & k 1 & 1 & -2 1 & 3 & -4 = i(1 cdot (-4) - (-2) cdot 3) - j(1 cdot (-4) - (-2) cdot 1) + k(1 cdot 3 - 1 cdot 1) :
= i(-4 + 6) - j(-4 + 2) + k(3 - 1) = 2i + 2j + 2k = (2, 2, 2)

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar (-1, -1, 2) cdot (2, 2, 2) = (-1)(2) + (-1)(2) + 2(2) = -2 -2 +4 = 0 :
O numerador da fórmula deu zero, o que indica que as retas intersectam-se ou são coincidentes.

Passo 7

Já que o numerador é zero, a distância entre as retas é:
d = 0|u times v| = 0

Resposta

A distância entre as retas e é 0 unidades, ou seja, as retas se intersectam.

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