Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da seção anterior.
(a) Determine a menor distância entre o ponto (2, 1, -1) e o plano x + y - z = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a menor distância entre o ponto e o plano definido pela equação . Para isso, vamos usar os Multiplicadores de Lagrange, que são uma ferramenta da matemática usada para otimizar (maximizar ou minimizar) uma função sujeita a uma restrição. Aqui, queremos minimizar a distância, e a restrição é que o ponto esteja no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos no espaço é dada pela fórmula da distância euclidiana. Mas, como queremos minimizar essa distância, vamos invés disso, minimizar o quadrado da distância para facilitar os cálculos.
A função que queremos minimizar é:
Isso porque representa o quadrado da distância entre um ponto qualquer e o ponto dado .

Passo 3

Nossa restrição é que o ponto esteja no plano . Para usar os Multiplicadores de Lagrange, vamos definir uma função auxiliar que incorpora essa restrição:
Aqui, representa a equação do plano.

Passo 4

Agora, vamos montar a função de Lagrange, que combina a função que queremos minimizar com a restrição, usando um multiplicador, que chamaremos de :
Substituindo as expressões de e :

Passo 5

Para encontrar os pontos que minimizam a distância, vamos derivar a função de Lagrange em relação a , , e , e igualar a zero. Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:
  1. Da terceira equação:
  1. Da quarta equação:

Passo 7

Como todas as expressões de são iguais, podemos igualar as expressões obtidas:
Dividindo todos por 2 para simplificar:
Vamos chamar esse valor comum de :

Passo 8

Agora, vamos usar a equação da restrição para encontrar o valor de :
Substituindo , , e :
Simplificando:

Passo 9

Agora que sabemos que , podemos encontrar , e :
Então, o ponto no plano mais próximo de é .

Passo 10

Finalmente, vamos calcular a distância entre e usando a fórmula da distância:

Resposta

A menor distância entre o ponto e o plano é unidades.

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