Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da seção anterior.
(a) Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
.
(a) Determine a menor distância entre o ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a menor distância entre o ponto
e o plano definido pela equação
. Para isso, vamos usar os Multiplicadores de Lagrange, que são uma ferramenta da matemática usada para otimizar (maximizar ou minimizar) uma função sujeita a uma restrição. Aqui, queremos minimizar a distância, e a restrição é que o ponto esteja no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos no espaço é dada pela fórmula da distância euclidiana. Mas, como queremos minimizar essa distância, vamos invés disso, minimizar o quadrado da distância para facilitar os cálculos.
A função que queremos minimizar é:
Isso porque
representa o quadrado da distância entre um ponto
qualquer e o ponto dado
.
Passo 3
Nossa restrição é que o ponto
esteja no plano
. Para usar os Multiplicadores de Lagrange, vamos definir uma função auxiliar que incorpora essa restrição:
Aqui,
representa a equação do plano.
Passo 4
Agora, vamos montar a função de Lagrange, que combina a função que queremos minimizar com a restrição, usando um multiplicador, que chamaremos de
:
Substituindo as expressões de
e
:
Passo 5
Para encontrar os pontos que minimizam a distância, vamos derivar a função de Lagrange em relação a
,
,
e
, e igualar a zero. Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Da terceira equação:
- Da quarta equação:
Passo 7
Como todas as expressões de
são iguais, podemos igualar as expressões obtidas:
Dividindo todos por 2 para simplificar:
Vamos chamar esse valor comum de
:
Passo 8
Agora, vamos usar a equação da restrição para encontrar o valor de
:
Substituindo
,
, e
:
Simplificando:
Passo 9
Agora que sabemos que
, podemos encontrar
,
e
:
Então, o ponto no plano mais próximo de
é
.
Passo 10
Finalmente, vamos calcular a distância entre
e
usando a fórmula da distância:
Resposta
A menor distância entre o ponto
e o plano
é
unidades.