Seja I um ideal do anel A. Mostre que se 1_A in I então I = A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um ideal de um anel e que o elemento identidade está dentro de . O objetivo é mostrar que, se isso acontecer, então o ideal é na verdade todo o anel . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre ideais em anéis.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é um ideal. Um ideal de um anel é um subconjunto de que é fechado sob adição e que, quando multiplicamos qualquer elemento de por qualquer elemento de , o resultado ainda está em .

Passo 3

Agora, sabemos que está em . Vamos aproveitar isso para mostrar que qualquer elemento de também está em . Sabemos que, para qualquer , podemos escrever .

Passo 4

Como está em e é um ideal, multiplicar por (que está em ) deve resultar em um elemento que também está em . Ou seja, .

Passo 5

Como escolhemos um elemento qualquer de e mostramos que ele está em , concluímos que todo elemento de está em . Portanto, não tem nada no anel que não esteja em .

Resposta

Assim, mostramos que .

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