Seja
um ideal do anel
. Mostre que se
então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um ideal
de um anel
e que o elemento identidade
está dentro de
. O objetivo é mostrar que, se isso acontecer, então o ideal
é na verdade todo o anel
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre ideais em anéis.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que é um ideal. Um ideal
de um anel
é um subconjunto de
que é fechado sob adição e que, quando multiplicamos qualquer elemento de
por qualquer elemento de
, o resultado ainda está em
.
Passo 3
Agora, sabemos que
está em
. Vamos aproveitar isso para mostrar que qualquer elemento
de
também está em
. Sabemos que, para qualquer
, podemos escrever
.
Passo 4
Como
está em
e
é um ideal, multiplicar
por
(que está em
) deve resultar em um elemento que também está em
. Ou seja,
.
Passo 5
Como escolhemos um elemento qualquer
de
e mostramos que ele está em
, concluímos que todo elemento de
está em
. Portanto, não tem nada no anel
que não esteja em
.
Resposta
Assim, mostramos que
.