Calcule o valor das séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o valor da série infinita
. Isso envolve conceitos de séries infinitas e frações parciais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão da série para facilitar a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série
. Observamos que no denominador temos
, que pode ser fatorado. Fatorar significa escrever a expressão como um produto de dois termos menores.
Então, podemos reescrever a fração original como:
Passo 3
Agora, vamos usar o método de frações parciais para decompor
. Esse método nos ajuda a expressar uma fração complicada como a soma de frações mais simples. Queremos encontrar números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Simplificando:
Para que as igualdades sejam verdadeiras para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
Resolvendo essas equações, encontramos:
Portanto:
Passo 4
Agora que simplificamos o termo geral, a série original pode ser reescrita como:
Essa série é conhecida como uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os primeiros termos.
Passo 5
Vamos somar os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento:
Observamos que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. Apenas o primeiro termo
e o último termo não cancelado permanecem.
Passo 6
Considerando que a série é infinita, o último termo que não se cancela tende a zero quando
vai para o infinito. Portanto, a soma da série é simplesmente:
Resposta
O valor da série
é
.