Calcule o valor das séries:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o valor da série infinita . Isso envolve conceitos de séries infinitas e frações parciais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão da série para facilitar a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série . Observamos que no denominador temos , que pode ser fatorado. Fatorar significa escrever a expressão como um produto de dois termos menores.
Então, podemos reescrever a fração original como:

Passo 3

Agora, vamos usar o método de frações parciais para decompor . Esse método nos ajuda a expressar uma fração complicada como a soma de frações mais simples. Queremos encontrar números e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Simplificando:
Para que as igualdades sejam verdadeiras para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
Resolvendo essas equações, encontramos:
Portanto:

Passo 4

Agora que simplificamos o termo geral, a série original pode ser reescrita como:
Essa série é conhecida como uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os primeiros termos.

Passo 5

Vamos somar os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento:
Observamos que cancela com , cancela com , e assim por diante. Apenas o primeiro termo e o último termo não cancelado permanecem.

Passo 6

Considerando que a série é infinita, o último termo que não se cancela tende a zero quando vai para o infinito. Portanto, a soma da série é simplesmente:

Resposta

O valor da série é .

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