Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisar a função
e determinar:
a. Pontos críticos;
b. Pontos de máximos/mínimos;
c. Analisar a concavidade;
d. Esboçar o gráfico.
Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar essas informações.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada primeira da função é zero ou não existe. Vamos calcular a derivada primeira de
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde
:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por -6:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos. Para isso, usamos a segunda derivada:
Vamos avaliar
em cada ponto crítico.
Para
:
Como
, isso significa que
é um ponto de máximo.
Para
:
Como
, isso significa que
é um ponto de mínimo.
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade da função. A concavidade está relacionada com a segunda derivada
.
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Vamos encontrar o ponto de inflexão, onde a concavidade muda:
Então, para
,
(côncava para cima).
Para
,
(côncava para baixo).
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função usando as informações que obtivemos:
- Pontos críticos em
(máximo) e (mínimo). - Ponto de inflexão em
. - Concavidade muda em
. - Comportamento da função para
indo para .
Isso nos dá uma boa ideia da forma geral do gráfico da função
.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
(máximo) e
(mínimo). A concavidade é para cima quando
e para baixo quando
, com um ponto de inflexão em
. O esboço do gráfico reflete essas informações, mostrando um máximo em
, um mínimo em
e a mudança de concavidade em
.
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Calcule o valor das séries:
Todo ponto ponto de máximo/mínimo é um ponto crítico? E a recíproca é válida? Justifique e exemplifique!
Verdadeiro ou contra-exemplo:
convergem, então
converge.
O que é um ponto de inflexão? A função
possui ponto de inflexão? Se sim, determine.