Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisar a função e determinar:
a. Pontos críticos;
b. Pontos de máximos/mínimos;
c. Analisar a concavidade;
d. Esboçar o gráfico.
Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar essas informações.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada primeira da função é zero ou não existe. Vamos calcular a derivada primeira de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde :
Podemos simplificar dividindo toda a equação por -6:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos. Para isso, usamos a segunda derivada:
Vamos avaliar em cada ponto crítico.
Para :
Como , isso significa que é um ponto de máximo.
Para :
Como , isso significa que é um ponto de mínimo.

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade da função. A concavidade está relacionada com a segunda derivada .
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Vamos encontrar o ponto de inflexão, onde a concavidade muda:
Então, para , (côncava para cima).
Para , (côncava para baixo).

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função usando as informações que obtivemos:
  • Pontos críticos em (máximo) e (mínimo).
  • Ponto de inflexão em .
  • Concavidade muda em .
  • Comportamento da função para indo para .
Isso nos dá uma boa ideia da forma geral do gráfico da função .

Resposta

Os pontos críticos da função são (máximo) e (mínimo). A concavidade é para cima quando e para baixo quando , com um ponto de inflexão em . O esboço do gráfico reflete essas informações, mostrando um máximo em , um mínimo em e a mudança de concavidade em .

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