Verdadeiro ou contra-exemplo: Se sum an e sum bn convergem, então sum an+bn converge.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está perguntando. Temos duas séries, sum an e sum bn, e sabemos que ambas convergem. A pergunta é: se somarmos estas duas séries termo a termo, ou seja, formar a série sum (an + bn), essa nova série também vai convergir? Vamos usar conceitos de séries convergentes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma série convergir. Uma série sum cn converge se a soma infinita dos seus termos chega a um número finito. Ou seja, à medida que somamos mais e mais termos, a soma se aproxima de um valor fixo.

Passo 3

Sabemos que se sum an e sum bn convergem, podemos chamar suas somas de A e B, respectivamente. Então, temos:
sum an = A e sum bn = B

Passo 4

Agora, vamos somar as duas séries termo a termo:
sum (an + bn) = sum an + sum bn = A + B
Como A e B são números finitos (porque as séries convergem), a soma A + B também é um número finito.

Passo 5

Portanto, a série sum (an + bn) converge para A + B. Isso significa que a soma das duas séries originais também é uma série convergente.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se sum an e sum bn convergem, então sum (an + bn) também converge.

Exercícios relacionados