Todo ponto ponto de máximo/mínimo é um ponto crítico? E a recíproca é válida? Justifique e exemplifique!
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que foi pedido! A questão está perguntando se todo ponto de máximo ou mínimo de uma função é também um ponto crítico. E, além disso, se a recíproca é verdadeira, ou seja, se todo ponto crítico é necessariamente um ponto de máximo ou mínimo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos e pontos de máximo/mínimo na Derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função ocorre onde a derivada da função é zero ou não existe. Em termos matemáticos:
Isso significa que, no ponto crítico, a inclinação da tangente à curva da função é horizontal ou a derivada não está definida.
Passo 3
Agora, vamos entender o que são pontos de máximo e mínimo. Um ponto de máximo é onde a função atinge o valor mais alto localmente, e um ponto de mínimo é onde alcança o valor mais baixo localmente. Para encontrar esses pontos, geralmente usamos o teste da primeira ou segunda derivada.
Passo 4
Vamos analisar se todo ponto de máximo ou mínimo é um ponto crítico. Quando a função atinge um máximo ou mínimo local, a inclinação da tangente é zero, ou seja, a derivada é zero nesse ponto. Portanto, todo ponto de máximo ou mínimo é, sim, um ponto crítico porque atende à condição
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a recíproca: se todo ponto crítico é um ponto de máximo ou mínimo. A resposta é não. Nem todo ponto crítico é necessariamente um ponto de máximo ou mínimo; alguns pontos críticos são conhecidos como pontos de inflexão. Em um ponto de inflexão, a função muda sua concavidade, mas não atinge um pico ou um vale.
Passo 6
Exemplo para ilustrar:
Considere a função
.
- Calculando a derivada:
. - Encontrando os pontos críticos:
⇒ .
No ponto
, a função tem um ponto crítico. Porém, se olharmos o gráfico, vemos que
não é nem um máximo nem um mínimo, mas sim um ponto de inflexão.
Resposta
Sim, todo ponto de máximo ou mínimo é um ponto crítico porque a derivada é zero ou não existe nesses pontos. No entanto, a recíproca não é válida: nem todo ponto crítico é necessariamente um ponto de máximo ou mínimo, podendo ser também um ponto de inflexão.
Exercícios relacionados
Verdadeiro ou contra-exemplo:
convergem absolutamente, então
converge.
Obtenha a derivada das funções abaixo:
.
Calcule o valor das séries:
Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.