Verdadeiro ou contra-exemplo: Se sum an e sum bn convergem absolutamente, então sum an bn converge.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão nos apresenta duas séries sum an e sum bn que convergem absolutamente. Queremos saber se, a partir disso, a série formada pelos produtos dos termos dessas séries, ou seja, sum an bn, também converge. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de séries numéricas, convergência absoluta e propriedades das séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir absolutamente. Uma série sum an converge absolutamente se a série dos valores absolutos sum |an| também converge. A convergência absoluta é uma condição mais forte que apenas a convergência da série original.

Passo 3

Agora, queremos analisar a série sum an bn. Uma maneira comum de estudar a convergência de uma série é comparar com outra série conhecida ou usar testes de convergência. Neste caso, vamos usar uma estratégia de comparação.

Passo 4

Sabemos que, se sum |an| e sum |bn| convergem, então ambos os termos |an| e |bn| tendem a zero quando n tende ao infinito. Mas isso não garante necessariamente que o produto an bn também tenda a zero de maneira que a série sum an bn convirja.

Passo 5

Vamos tentar encontrar um contra-exemplo. Considere as séries sum an e sum bn onde an = 1n e bn = (-1)^nn. Ambas as séries sum |an| = sum 1n e sum |bn| = sum 1n divergem, mas este não é um bom exemplo. Precisamos de séries que convergem absolutamente.

Passo 6

Vamos ajustar o exemplo. Considere an = 1n^p e bn = 1n^q onde p > 1 e q > 1. Ambas as séries sum |an| e sum |bn| convergem absolutamente. O produto dos termos é an bn = 1n^p+q.

Passo 7

A série sum an bn = sum 1n^p+q converge se p + q > 1. No entanto, como p > 1 e q > 1, então p + q > 2 > 1, então neste caso específico a série converge. Precisamos de um exemplo onde isso não aconteça.

Passo 8

Vamos tentar outro tipo de série. Considere an = 1n e bn = 1n log(n)^2 para n >= 2. Aqui, sum |an| = sum 1n diverge, então esse também não serve. Precisamos de duas séries que convergem absolutamente, mas o produto delas não converge.

Passo 9

Após tentar diferentes exemplos, percebemos que na verdade se sum |an| e sum |bn| convergem, então sum |an bn| também converge, pois por desigualdade de Cauchy-Schwarz ou outros critérios, o produto de termos de séries absolutamente convergentes tende a uma série convergente.

Resposta

A afirmação é verdadeira: se sum an e sum bn convergem absolutamente, então sum an bn também converge.

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