Verdadeiro ou contra-exemplo: convergem absolutamente, então converge.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão nos apresenta duas séries e que convergem absolutamente. Queremos saber se, a partir disso, a série formada pelos produtos dos termos dessas séries, ou seja, , também converge. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de séries numéricas, convergência absoluta e propriedades das séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir absolutamente. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. A convergência absoluta é uma condição mais forte que apenas a convergência da série original.

Passo 3

Agora, queremos analisar a série . Uma maneira comum de estudar a convergência de uma série é comparar com outra série conhecida ou usar testes de convergência. Neste caso, vamos usar uma estratégia de comparação.

Passo 4

Sabemos que, se e convergem, então ambos os termos e tendem a zero quando tende ao infinito. Mas isso não garante necessariamente que o produto também tenda a zero de maneira que a série convirja.

Passo 5

Vamos tentar encontrar um contra-exemplo. Considere as séries e onde e . Ambas as séries e divergem, mas este não é um bom exemplo. Precisamos de séries que convergem absolutamente.

Passo 6

Vamos ajustar o exemplo. Considere e onde e . Ambas as séries e convergem absolutamente. O produto dos termos é .

Passo 7

A série converge se . No entanto, como e , então , então neste caso específico a série converge. Precisamos de um exemplo onde isso não aconteça.

Passo 8

Vamos tentar outro tipo de série. Considere e para . Aqui, diverge, então esse também não serve. Precisamos de duas séries que convergem absolutamente, mas o produto delas não converge.

Passo 9

Após tentar diferentes exemplos, percebemos que na verdade se e convergem, então também converge, pois por desigualdade de Cauchy-Schwarz ou outros critérios, o produto de termos de séries absolutamente convergentes tende a uma série convergente.

Resposta

A afirmação é verdadeira: se e convergem absolutamente, então também converge.

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