Verdadeiro ou contra-exemplo:
convergem absolutamente, então
converge.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão nos apresenta duas séries
e
que convergem absolutamente. Queremos saber se, a partir disso, a série formada pelos produtos dos termos dessas séries, ou seja,
, também converge. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de séries numéricas, convergência absoluta e propriedades das séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir absolutamente. Uma série
converge absolutamente se a série dos valores absolutos
também converge. A convergência absoluta é uma condição mais forte que apenas a convergência da série original.
Passo 3
Agora, queremos analisar a série
. Uma maneira comum de estudar a convergência de uma série é comparar com outra série conhecida ou usar testes de convergência. Neste caso, vamos usar uma estratégia de comparação.
Passo 4
Sabemos que, se
e
convergem, então ambos os termos
e
tendem a zero quando
tende ao infinito. Mas isso não garante necessariamente que o produto
também tenda a zero de maneira que a série
convirja.
Passo 5
Vamos tentar encontrar um contra-exemplo. Considere as séries
e
onde
e
. Ambas as séries
e
divergem, mas este não é um bom exemplo. Precisamos de séries que convergem absolutamente.
Passo 6
Vamos ajustar o exemplo. Considere
e
onde
e
. Ambas as séries
e
convergem absolutamente. O produto dos termos é
.
Passo 7
A série
converge se
. No entanto, como
e
, então
, então neste caso específico a série converge. Precisamos de um exemplo onde isso não aconteça.
Passo 8
Vamos tentar outro tipo de série. Considere
e
para
. Aqui,
diverge, então esse também não serve. Precisamos de duas séries que convergem absolutamente, mas o produto delas não converge.
Passo 9
Após tentar diferentes exemplos, percebemos que na verdade se
e
convergem, então
também converge, pois por desigualdade de Cauchy-Schwarz ou outros critérios, o produto de termos de séries absolutamente convergentes tende a uma série convergente.
Resposta
A afirmação é verdadeira: se
e
convergem absolutamente, então
também converge.
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.
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;
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