Calcule o valor da soma
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma infinita
. Para isso, vamos usar técnicas de frações parciais e séries telescópicas, que são ferramentas da matemática para simplificar somas complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. A gente tem
. Nosso objetivo é quebrar essa fração em partes menores que a gente consiga somar facilmente. Para isso, vamos usar a decomposição em frações parciais.
Passo 3
Vamos supor que conseguimos escrever a fração assim:
Agora, nosso trabalho é encontrar os valores de
,
,
, e
.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, ficamos com:
Vamos escolher valores de
que simplificam a equação para encontrar
e
.
Passo 5
Escolhendo
:
Agora, escolhendo
:
Passo 6
Para encontrar
e
, vamos escolher outros valores de
, como
e
, e resolver o sistema de equações resultante.
Após resolver, descobrimos que
e
.
Passo 7
Com isso, nossa decomposição fica:
Agora, a soma original se transforma em:
Passo 8
Essa é uma série telescópica, o que significa que a maioria dos termos vai se cancelar. Se você escrever os primeiros termos, vai ver que tudo menos o primeiro termo
se cancela.
Passo 9
Portanto, a soma total é simplesmente:
Resposta
A soma
é igual a
.