Calcule o valor da soma sumn=0^+infty 2 n+11[(n+5)(n+6)]^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma infinita . Para isso, vamos usar técnicas de frações parciais e séries telescópicas, que são ferramentas da matemática para simplificar somas complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. A gente tem . Nosso objetivo é quebrar essa fração em partes menores que a gente consiga somar facilmente. Para isso, vamos usar a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Vamos supor que conseguimos escrever a fração assim:
2n + 11(n + 5)^2 (n + 6)^2 = Cn + 5 + D(n + 5)^2 + En + 6 + F(n + 6)^2
Agora, nosso trabalho é encontrar os valores de , , , e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 2n + 11 = C(n + 5)(n + 6)^2 + D(n + 6)^2 + E(n + 6)(n + 5)^2 + F(n + 5)^2 para eliminar os denominadores, ficamos com:
Vamos escolher valores de que simplificam a equação para encontrar e .

Passo 5

Escolhendo 2(-5) + 11 = D(1)^2 Rightarrow 1 = D Rightarrow D = 1 :
2(-6) + 11 = F(1)^2 Rightarrow -1 = F Rightarrow F = -1
Agora, escolhendo :

Passo 6

Para encontrar e , vamos escolher outros valores de , como e , e resolver o sistema de equações resultante.
Após resolver, descobrimos que e .

Passo 7

Com isso, nossa decomposição fica:
2n + 11(n + 5)^2 (n + 6)^2 = 1(n + 5)^2 - 1(n + 6)^2
Agora, a soma original se transforma em:
sumn=0^+infty ( 1(n + 5)^2 - 1(n + 6)^2 )

Passo 8

Essa é uma série telescópica, o que significa que a maioria dos termos vai se cancelar. Se você escrever os primeiros termos, vai ver que tudo menos o primeiro termo se cancela.

Passo 9

Portanto, a soma total é simplesmente:
15^2 = 125

Resposta

A soma é igual a .

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