Calcule o valor da soma .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma infinita . Para isso, vamos usar técnicas de frações parciais e séries telescópicas, que são ferramentas da matemática para simplificar somas complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. A gente tem . Nosso objetivo é quebrar essa fração em partes menores que a gente consiga somar facilmente. Para isso, vamos usar a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Vamos supor que conseguimos escrever a fração assim:
Agora, nosso trabalho é encontrar os valores de , , , e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, ficamos com:
Vamos escolher valores de que simplificam a equação para encontrar e .

Passo 5

Escolhendo :
Agora, escolhendo :

Passo 6

Para encontrar e , vamos escolher outros valores de , como e , e resolver o sistema de equações resultante.
Após resolver, descobrimos que e .

Passo 7

Com isso, nossa decomposição fica:
Agora, a soma original se transforma em:

Passo 8

Essa é uma série telescópica, o que significa que a maioria dos termos vai se cancelar. Se você escrever os primeiros termos, vai ver que tudo menos o primeiro termo se cancela.

Passo 9

Portanto, a soma total é simplesmente:

Resposta

A soma é igual a .

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Determine o valor da soma .
Calcule o volume do conjunto e .
Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
Considere o seguinte circuito com infinitas resistências
A resistência equivalente entre os pontos , do circuito acima, existe e pode ser calculada mediante o seguinte processo indutivo:
Primeiro considere o circuito
mediante o uso das leis de Kirchhoff e a lei de Ohm a resistência equivalente entre os pontos a b para este circuito é
Agora, considere o circuito
novamente, mediante o uso das leis de Kirchhoff e a lei de Ohm a resistência equivalente, para esse novo circuito, é
Assim, mediante esse processo indutivo, e utilizando as leis de Kirchhoff e a lei de Ohm, encontre uma fórmula para a n-ésima resistência equivalente para o n-ésimo sub circuito. Finalmente a resistência equivalente entre os pontos , no circuito infinito, será dada pelo limite
Calcule tal resistência equivalente quando .