Determine o valor da soma .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir o valor da soma infinita . Para resolver isso, vamos usar um conteúdo chamado séries telescópicas, que ajuda a simplificar somas que, à primeira vista, parecem complicadas. Vamos precisar entender um pouco sobre frações parciais para decompor a fração e facilitar a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração usando frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a diferença de duas frações mais simples. Então, vamos supor que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 3

Para encontrar e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e reorganizar os termos:

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Para os termos com :
  • Para os termos constantes:

Passo 5

Da primeira equação , podemos expressar em função de :
Agora, substituímos na segunda equação:
Então, .

Passo 6

Agora que temos e , podemos escrever a fração inicial como:

Passo 7

Vamos agora substituir essa expressão na soma original:

Passo 8

Perceba que isso é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar. Vamos expandir os primeiros termos para ver o padrão:

Passo 9

Como você vê, o , , etc., vão se cancelando aos pares. O que sobra é o primeiro termo e o que vai tendendo a zero no final.

Passo 10

Portanto, a soma total é simplesmente o primeiro termo:

Resposta

O valor da soma é .

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Calcule o volume do conjunto e .
Dado os vetores e do . Determine: pts] o subespaço gerado pelos vetores .
Calcule o valor da soma .
Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries: