Determine o valor da soma
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir o valor da soma infinita
. Para resolver isso, vamos usar um conteúdo chamado séries telescópicas, que ajuda a simplificar somas que, à primeira vista, parecem complicadas. Vamos precisar entender um pouco sobre frações parciais para decompor a fração e facilitar a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
usando frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a diferença de duas frações mais simples. Então, vamos supor que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Passo 3
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e reorganizar os termos:
Passo 4
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para os termos com
:
- Para os termos constantes:
Passo 5
Da primeira equação
, podemos expressar
em função de
:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Então,
.
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos escrever a fração inicial como:
Passo 7
Vamos agora substituir essa expressão na soma original:
Passo 8
Perceba que isso é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar. Vamos expandir os primeiros termos para ver o padrão:
Passo 9
Como você vê, o
,
, etc., vão se cancelando aos pares. O que sobra é o primeiro termo
e o que vai tendendo a zero no final.
Passo 10
Portanto, a soma total é simplesmente o primeiro termo:
Resposta
O valor da soma é
.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do conjunto
e
.
Dado os vetores
e
do
. Determine:
pts] o subespaço
gerado pelos vetores
.
Calcule o valor da soma
.
Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries: