Determine o valor da soma sumn=0^+infty 4(n+7)(n+6).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir o valor da soma infinita . Para resolver isso, vamos usar um conteúdo chamado séries telescópicas, que ajuda a simplificar somas que, à primeira vista, parecem complicadas. Vamos precisar entender um pouco sobre frações parciais para decompor a fração e facilitar a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 4(n+7)(n+6) = An+6 + Bn+7 usando frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a diferença de duas frações mais simples. Então, vamos supor que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 3

Para encontrar 4 = A(n+7) + B(n+6) e 4 = An + 7A + Bn + 6B = (A + B)n + (7A + 6B) , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e reorganizar os termos:

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Para os termos com A + B = 0 :
7A + 6B = 4
  • Para os termos constantes:

Passo 5

Da primeira equação A = -B , podemos expressar 7(-B) + 6B = 4 -7B + 6B = 4 -B = 4 B = -4 em função de :
Agora, substituímos na segunda equação:
Então, .

Passo 6

Agora que temos 4(n+7)(n+6) = 4n+6 - 4n+7 e , podemos escrever a fração inicial como:

Passo 7

Vamos agora substituir essa expressão na soma original:
sumn=0^+infty ( 4n+6 - 4n+7 )

Passo 8

Perceba que isso é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar. Vamos expandir os primeiros termos para ver o padrão:
( 46 - 47 ) + ( 47 - 48 ) + ( 48 - 49 ) + dots

Passo 9

Como você vê, o , , etc., vão se cancelando aos pares. O que sobra é o primeiro termo e o que vai tendendo a zero no final.

Passo 10

Portanto, a soma total é simplesmente o primeiro termo:
46 = 23

Resposta

O valor da soma é .

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