Considere o seguinte circuito com infinitas resistências
A resistência equivalente entre os pontos , do circuito acima, existe e pode ser calculada mediante o seguinte processo indutivo:
Primeiro considere o circuito
mediante o uso das leis de Kirchhoff e a lei de Ohm a resistência equivalente entre os pontos a b para este circuito é
Agora, considere o circuito
novamente, mediante o uso das leis de Kirchhoff e a lei de Ohm a resistência equivalente, para esse novo circuito, é
Assim, mediante esse processo indutivo, e utilizando as leis de Kirchhoff e a lei de Ohm, encontre uma fórmula para a n-ésima resistência equivalente para o n-ésimo sub circuito. Finalmente a resistência equivalente entre os pontos , no circuito infinito, será dada pelo limite
Calcule tal resistência equivalente quando .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre encontrar a resistência equivalente entre dois pontos, a e b, em um circuito com resistências infinitas. Vamos usar as leis de Kirchhoff e a lei de Ohm para resolver isso. O que vamos precisar entender é como as resistências se organizam no circuito e como podemos calcular a resistência total passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para como a resistência equivalente está sendo calculada nos casos iniciais. Temos:
Isso significa que para o primeiro subcircuito, estamos adicionando uma resistência R em série com uma combinação de resistências em paralelo. As leis de Kirchhoff nos ajudam a entender como as correntes se dividem e se somam, e a lei de Ohm relaciona a tensão, a corrente e a resistência.

Passo 3

Para o segundo subcircuito, a resistência equivalente fica:
Perceba que a cada passo, estamos adicionando mais uma camada de resistências em paralelo. Isso cria uma espécie de “fração contínua” onde cada nova resistência depende da anterior.

Passo 4

Vamos generalizar isso para o n-ésimo subcircuito. Observando o padrão, podemos escrever a resistência equivalente como:
Aqui, temos n camadas de resistências interligadas. Para encontrar a resistência total no circuito infinito, vamos considerar o limite quando n tende ao infinito.

Passo 5

Então, a resistência equivalente no circuito infinito será:
Agora, vamos resolver essa expressão. Observando a fração contínua, percebemos que, no limite, a resistência equivalente se estabiliza em um valor fixo. Podemos resolver isso configurando a equação para :
Simplificando e resolvendo essa equação quadrática, encontramos o valor da resistência equivalente.

Resposta

Depois de resolver, para , a resistência equivalente é:

Exercícios relacionados

Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
Calcule o valor da soma .
Encontre uma função positiva, decrescente (justifique este fato) e contínua t.q. seja igual ao termo geral da série correspondente. Finalmente, utilize o Teste da Integral para justificar a convergência ou divergência de cada uma das séries. Série:
Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries: