Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos o Teste da Comparação para determinar se a série converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de Séries Numéricas e Convergência de Séries. Para resolver, vamos precisar comparar a série dada com outra série que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Comparação. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando seus termos com os termos de outra série conhecida. Se os termos da nossa série forem menores que os termos de uma série que já sabemos que converge, então a nossa série também converge.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série que queremos testar: . Observamos que o numerador é um polinômio de grau 3 () e o denominador é uma função exponencial (). Geralmente, funções exponenciais crescem mais rápido que polinômios, o que nos dá uma pista de que a série pode convergir.
Passo 4
Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos encontrar uma série comparável que conhecemos a convergência. Uma boa escolha é a série geométrica , que sabemos que converge porque sua razão é menor que 1.
Passo 5
Vamos comparar os termos das duas séries. Queremos ver se para algum constante e para todo suficientemente grande. Na verdade, para qualquer , temos:
Como cresce mais devagar que , podemos afirmar que existe uma constante tal que , tornando .
Passo 6
Como converge e nossos termos são menores ou iguais aos termos da série geométrica multiplicados por uma constante, pelo Teste da Comparação, a série também converge.