Calcule o valor da soma: sumn=1^infty 2 n+1n^2(n+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a soma infinita . Isso envolve a matéria de séries e, mais especificamente, técnicas de frações parciais para simplificar a expressão e descobrir se a soma converge para algum valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração usando frações parciais. A ideia é decompor essa expressão em partes menores que são mais fáceis de somar.

Passo 3

Vamos assumir que podemos escrever An + Bn^2 + Cn+1 + D(n+1)^2 como:
2n + 1 = A n (n+1)^2 + B (n+1)^2 + C n^2 (n+1) + D n^2
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, expandimos e simplificamos a equação para encontrar os valores de A, B, C e D. Substituindo valores estratégicos de n (como n = -1 e n = 0) simplifica a resolução:
  • Para 2(-1) + 1 = 0 + 0 + C(1)(0) + D(1) Rightarrow -2 + 1 = D Rightarrow D = -1 :
0 + 1 = 0 + B(1) + 0 + 0 Rightarrow B = 1
  • Para A = 1 e C = -1 :
Agora, substituímos B e D de volta na equação original e igualamos os coeficientes para resolver A e C, resultando em:

Passo 5

Com os valores encontrados, a fração original fica:
2n+1n^2(n+1)^2 = 1n + 1n^2 - 1n+1 - 1(n+1)^2
Agora, podemos somar termo a termo da série infinita.

Passo 6

Observamos que a série se torna telescópica, o que significa que muitos termos se cancelam quando somamos de 1 até infinito:
sumn=1^infty ( 1n + 1n^2 - 1n+1 - 1(n+1)^2 )
Ao somar, a maioria dos termos se cancelará, deixando apenas alguns termos iniciais não cancelados.

Passo 7

Calculando os limites, percebemos que a soma converge para:
1 + 11^2 = 2
Isso porque os demais termos se anulam no infinito.

Resposta

A soma infinita é igual a 2.

Exercícios relacionados