Calcule o valor da soma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a soma infinita
. Isso envolve a matéria de séries e, mais especificamente, técnicas de frações parciais para simplificar a expressão e descobrir se a soma converge para algum valor específico.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
usando frações parciais. A ideia é decompor essa expressão em partes menores que são mais fáceis de somar.
Passo 3
Vamos assumir que podemos escrever
como:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, expandimos e simplificamos a equação para encontrar os valores de A, B, C e D. Substituindo valores estratégicos de n (como n = -1 e n = 0) simplifica a resolução:
- Para
:
- Para
:
Agora, substituímos B e D de volta na equação original e igualamos os coeficientes para resolver A e C, resultando em:
Passo 5
Com os valores encontrados, a fração original fica:
Agora, podemos somar termo a termo da série infinita.
Passo 6
Observamos que a série se torna telescópica, o que significa que muitos termos se cancelam quando somamos de 1 até infinito:
Ao somar, a maioria dos termos se cancelará, deixando apenas alguns termos iniciais não cancelados.
Passo 7
Calculando os limites, percebemos que a soma converge para:
Isso porque os demais termos se anulam no infinito.
Resposta
A soma infinita
é igual a 2.