Diga se as séries abaixo convergem aboslutamente, condicionalmente, o são digergentes.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pergunta se a série
converge absolutamente, condicionalmente ou se é divergente. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série:
. É importante entender como se comporta essa expressão à medida que
cresce.
Passo 3
Sabemos que para valores pequenos de
, o logaritmo natural pode ser aproximado por
. Aqui,
se torna bem pequeno conforme
aumenta, então podemos aproximar:
Passo 4
Agora, precisamos verificar a convergência da série
. Essa é uma série
-série, onde a forma geral é
.
Passo 5
Para uma
-série
, a série converge se
e diverge se
. No nosso caso, temos:
Aqui,
, que é maior que 1.
Passo 6
Como a série comparada
converge e a nossa série original é aproximadamente igual a essa para grandes
, podemos concluir que a série original também converge.
Passo 7
Além disso, como todos os termos da série são positivos, a convergência é absoluta.
Resposta
A série
converge absolutamente.