Calcule o valor dos somatórios abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou três somatórios que envolvem coeficientes binomiais $ C_{k}^{n} $. O que a gente vai precisar aqui é entender umas propriedades dos coeficientes binomiais e algumas identidades matemáticas que ajudam a simplificar essas somas. Então, vamos resolver cada somatório passo a passo para encontrar os valores finais.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro somatório:
Primeiro, vamos separar esse somatório em duas partes:
Agora, vamos resolver cada parte separadamente.
-
Primeira parte:Existe uma identidade que diz que:Essa identidade vem do fato de que cada elemento tem duas opções (incluir ou não) e multiplicamos pelo número de elementos.
-
Segunda parte:Esse somatório é conhecido e vale:Isso porque estamos somando todas as combinações possíveis de
elementos, que é igual a .
Agora, juntando as duas partes:
Passo 3
Vamos para o segundo somatório:
Para resolver isso, usamos outra identidade que relaciona somatórios com coeficientes binomiais:
Essa identidade é derivada diferenciando a expressão geradora dos coeficientes binomiais duas vezes e avaliando em 1.
Passo 4
Agora, o terceiro somatório:
Esse somatório é um pouco mais complexo, mas também tem uma identidade conhecida. Podemos relacioná-lo com a soma das séries binomiais integradas. A identidade é:
Essa fórmula é derivada integrando a expressão binomial
de 0 a 1 e ajustando os termos.
Resposta
Então, resumindo os valores dos somatórios: