Calcule o valor dos somatórios abaixo:
sumk=0^n(k+1) Ck^n, sumk=0^n k^2 Ck^n, sumk=0^n 1k+1 Ck^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou três somatórios que envolvem coeficientes binomiais $ C_{k}^{n} $. O que a gente vai precisar aqui é entender umas propriedades dos coeficientes binomiais e algumas identidades matemáticas que ajudam a simplificar essas somas. Então, vamos resolver cada somatório passo a passo para encontrar os valores finais.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro somatório:
sumk=0^n(k+1) Ck^n
Primeiro, vamos separar esse somatório em duas partes:
sumk=0^n(k+1) Ck^n = sumk=0^nk Ck^n + sumk=0^nCk^n
Agora, vamos resolver cada parte separadamente.
  1. Primeira parte: sumk=0^nk Ck^n
    Existe uma identidade que diz que:
    sumk=0^nk Ck^n = n cdot 2^n-1
    Essa identidade vem do fato de que cada elemento tem duas opções (incluir ou não) e multiplicamos pelo número de elementos.
  2. Segunda parte: sumk=0^nCk^n
    Esse somatório é conhecido e vale:
    sumk=0^nCk^n = 2^n
    Isso porque estamos somando todas as combinações possíveis de n elementos, que é igual a 2^n.
Agora, juntando as duas partes:
sumk=0^n(k+1) Ck^n = n cdot 2^n-1 + 2^n = 2^n-1(n + 2)

Passo 3

Vamos para o segundo somatório:
sumk=0^nk^2 Ck^n
Para resolver isso, usamos outra identidade que relaciona somatórios com coeficientes binomiais:
sumk=0^nk^2 Ck^n = n(n + 1) cdot 2^n-2
Essa identidade é derivada diferenciando a expressão geradora dos coeficientes binomiais duas vezes e avaliando em 1.

Passo 4

Agora, o terceiro somatório:
sumk=0^n 1k+1 Ck^n
Esse somatório é um pouco mais complexo, mas também tem uma identidade conhecida. Podemos relacioná-lo com a soma das séries binomiais integradas. A identidade é:
sumk=0^n 1k+1 Ck^n = 2^n+1 - 1n + 1
Essa fórmula é derivada integrando a expressão binomial (1 + x)^n de 0 a 1 e ajustando os termos.

Resposta

Então, resumindo os valores dos somatórios:
  1. sumk=0^n(k+1) Ck^n = 2^n-1(n + 2)
  2. sumk=0^nk^2 Ck^n = n(n + 1) cdot 2^n-2
  3. sumk=0^n 1k+1 Ck^n = 2^n+1 - 1n + 1

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