Utilize a fórmula do binômio de Newton para calcular os somatórios abaixo:
sumk=0^nbinomnk x^k, sumk=0^n(-1)^kbinomnk, sumk=0^n kbinomnk x^k, sumk=0^n kbinomnk

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular quatro somatórios usando a fórmula do binômio de Newton. Vamos precisar entender como aplicar o binômio de Newton e algumas propriedades dos coeficientes binomiais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro Somatório: sumk=0^nbinomnk x^k
A gente sabe que a fórmula do binômio de Newton é:
(a + b)^n = sumk=0^nbinomnk a^n-k b^k
Se colocarmos a = 1 e b = x, fica:
(1 + x)^n = sumk=0^nbinomnk x^k
Então, o somatório sumk=0^nbinomnk x^k é igual a (1 + x)^n.

Passo 3

Segundo Somatório: sumk=0^n(-1)^kbinomnk
Vamos usar a mesma ideia do binômio de Newton. Se colocarmos x = -1 na expressão que encontramos:
(1 + (-1))^n = sumk=0^nbinomnk (-1)^k
Simplificando o lado esquerdo:
0^n = sumk=0^n(-1)^kbinomnk
E sabemos que 0^n = 0 (desde que n > 0). Portanto,
sumk=0^n(-1)^kbinomnk = 0

Passo 4

Terceiro Somatório: sumk=0^n kbinomnk x^k
Aqui, vamos precisar fazer derivadas. Vamos começar com a expressão que já conhecemos:
(1 + x)^n = sumk=0^nbinomnk x^k
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x:
n(1 + x)^n-1 = sumk=0^n binomnk k x^k-1
Multiplicando ambos os lados por x para ajustar os índices:
n x (1 + x)^n-1 = sumk=0^n k binomnk x^k
Portanto,
sumk=0^n k binomnk x^k = n x (1 + x)^n-1

Passo 5

Quarto Somatório: sumk=0^n kbinomnk
Vamos usar o resultado do passo anterior e substituir x = 1:
sumk=0^n k binomnk = n cdot 1 cdot (1 + 1)^n-1 = n cdot 2^n-1

Resposta

  1. sumk=0^nbinomnk x^k = (1 + x)^n
  2. sumk=0^n(-1)^kbinomnk = 0
  3. sumk=0^n kbinomnk x^k = n x (1 + x)^n-1
  4. sumk=0^n kbinomnk = n 2^n-1

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