Utilize a fórmula do binômio de Newton para calcular os somatórios abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular quatro somatórios usando a fórmula do binômio de Newton. Vamos precisar entender como aplicar o binômio de Newton e algumas propriedades dos coeficientes binomiais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro Somatório:
A gente sabe que a fórmula do binômio de Newton é:
Se colocarmos
e
, fica:
Então, o somatório
é igual a
.
Passo 3
Segundo Somatório:
Vamos usar a mesma ideia do binômio de Newton. Se colocarmos
na expressão que encontramos:
Simplificando o lado esquerdo:
E sabemos que
(desde que
). Portanto,
Passo 4
Terceiro Somatório:
Aqui, vamos precisar fazer derivadas. Vamos começar com a expressão que já conhecemos:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
para ajustar os índices:
Portanto,
Passo 5
Quarto Somatório:
Vamos usar o resultado do passo anterior e substituir
: