Calcule o valor de de modo que a função
seja contínua.

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos encontrar o valor de para que a função
seja contínua. Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que garante que a função não tenha “saltos” ou “quebras” em seu domínio. Especificamente, vamos garantir que os limites da função pela esquerda e pela direita em sejam iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de pela esquerda ( ):
Aqui, substituímos por na expressão .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de pela direita ( ):
Como para , a função é constante e igual a , o limite é simplesmente .

Passo 4

Para que a função seja contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 5

Arrumando a equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver.

Passo 6

Fatorando a equação quadrática:
Isso nos mostra que a única solução é:

Resposta

O valor de que torna a função contínua é .

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Calcule as derivadas das funções abaixo usando as regras de derivação:
Sabendo que está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule :