Sabendo que
está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule
:
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, quando
está definida pela equação . Isso envolve derivação implícita, onde
é uma função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então precisamos usar a regra da cadeia quando derivamos termos que incluem
.
Passo 3
Vamos derivar o lado esquerdo da equação: .
Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar cada parte:
-
: Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e então multiplicamos por :
- : A derivada de em relação a
é :
Passo 5
Substituindo as derivadas no lado esquerdo:
Agora, vamos derivar o lado direito da equação:
.
Usamos a regra do produto novamente:
Passo 6
Colocando tudo junto, temos:
Passo 7
Vamos isolar os termos que contêm
. Primeiro, mova o termo sem
para o outro lado:
Passo 8
Fatorando
no lado esquerdo:
Resposta
Isolando
, temos:
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de modo que a função
seja contínua.
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