Sabendo que está definida implicitamente nas equações abaixo, calcule :

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , quando está definida pela equação . Isso envolve derivação implícita, onde é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então precisamos usar a regra da cadeia quando derivamos termos que incluem .

Passo 3

Vamos derivar o lado esquerdo da equação: .
Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar cada parte:
  1. : Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e então multiplicamos por :
  1. : A derivada de em relação a é :

Passo 5

Substituindo as derivadas no lado esquerdo:
Agora, vamos derivar o lado direito da equação: .
Usamos a regra do produto novamente:

Passo 6

Colocando tudo junto, temos:

Passo 7

Vamos isolar os termos que contêm . Primeiro, mova o termo sem para o outro lado:

Passo 8

Fatorando no lado esquerdo:

Resposta

Isolando , temos:

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