Calcule o valor de a para que o vetor v=(-28,0,-72) seja mutuamente ortogonal aos vetores w=a i+5 j-4 k e u=(a-1) i+2 j+4 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de de forma que o vetor seja ortogonal aos vetores e . Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar de vetores, que nos ajuda a determinar se dois vetores são perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for igual a zero. O produto escalar de dois vetores A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz e é calculado pela fórmula:

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre v cdot w = (-28) cdot a + 0 cdot 5 + (-72) cdot (-4) e v cdot w = -28a + 0 + 14 = -28a + 14 :
-28a + 14 = 0
Simplificando:
Para que seja ortogonal a , temos que:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar entre v cdot u = (-28) cdot (a - 1) + 0 cdot 2 + (-72) cdot 4 e v cdot u = -28a + 28 - 14 = -28a + 14 :
-28a + 14 = 0
Simplificando:
Para que seja ortogonal a , temos que:

Passo 5

Observamos que ambas as equações são iguais:
-28a + 14 = 0
Vamos resolver para -28a + 14 = 0 -28a = -14 a = -14-28 a = 12 :

Resposta

O valor de que torna os vetores ortogonais é .

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