Considere os vetores u e w, tais que u=(1,-1,4),|w|=6 e o ângulo entre u e w é pi3. Determine:
(a) a projeção do vetor w sobre o vetor u.
(b) a área do paralelogramo determinado pelos vetores a=u+w e b=u-w.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores, u = (1, -1, 4) e w com magnitude |w| = 6. Sabemos também que o ângulo entre eles é pi3. O que a gente precisa descobrir aqui são duas coisas:
a) A projeção do vetor w sobre o vetor u.
b) A área do paralelogramo formado pelos vetores a = u + w e b = u - w.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de projeção vetorial e de cálculo de área usando produto vetorial. Vamos por partes!

Passo 2

Vamos começar com a projeção do vetor w sobre u. A projeção basicamente nos mostra qual parte de w está na direção de u.
A fórmula para a projeção de w sobre u é:
Proju w = ( u cdot w|u|^2 ) u
Aqui, u cdot w é o produto escalar dos vetores, e |u| é o comprimento do vetor u.
Vamos calcular cada parte:
Primeiro, o produto escalar:
u cdot w = |u| cdot |w| cdot costheta
Onde theta = pi3, e sabemos que |w| = 6.
Mas primeiro, precisamos calcular |u|:
|u| = raiz1^2 + (-1)^2 + 4^2 = raiz1 + 1 + 16 = raiz18 = 3raiz2
Agora, o produto escalar:
u cdot w = 3raiz2 cdot 6 cdot cos( pi3 ) = 18raiz2 cdot 12 = 9raiz2
Agora, substituímos na fórmula da projeção:
Proju w = ( 9raiz2(3raiz2)^2 ) u = ( 9raiz218 ) u = ( raiz22 ) u
Multiplicando o escalar pelo vetor u:
Proju w = ( raiz22 ) (1, -1, 4) = ( raiz22, -raiz22, 2raiz2 )

Passo 3

Agora vamos para a parte (b), que pede a área do paralelogramo formado pelos vetores a = u + w e b = u - w.
A área de um paralelogramo formado por dois vetores pode ser encontrada usando o produto vetorial:
Área = |a times b| Á
Primeiro, vamos calcular a e b:
a = u + w b = u - w
Mas, como não temos as componentes de w, vamos usar propriedades do produto vetorial. Sabemos que:
a times b = (u + w) times (u - w) = u times u - u times w + w times u - w times w
Sabemos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero:
u times u = w times w = 0
E que w times u = -u times w.
Então:
a times b = -u times w - u times w = -2 u times w
A magnitude disso será:
|a times b| = 2 |u times w|
Agora, a magnitude do produto vetorial é dada por:
|u times w| = |u| cdot |w| cdot sintheta
Substituindo os valores que já sabemos:
|u times w| = 3raiz2 cdot 6 cdot sin( pi3 ) = 18raiz2 cdot raiz32 = 9raiz6
Portanto:
|a times b| = 2 cdot 9raiz6 = 18raiz6

Resposta

a) A projeção do vetor w sobre o vetor u é ( raiz22, -raiz22, 2raiz2 ).
b) A área do paralelogramo determinado pelos vetores a e b é 18raiz6.

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