Considere os vetores
e
, tais que
e o ângulo entre
e
é
. Determine:
(a) a projeção do vetor
sobre o vetor
.
(b) a área do paralelogramo determinado pelos vetores
e
.
(a) a projeção do vetor
(b) a área do paralelogramo determinado pelos vetores
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores,
e
com magnitude
. Sabemos também que o ângulo entre eles é
. O que a gente precisa descobrir aqui são duas coisas:
a) A projeção do vetor
sobre o vetor
.
b) A área do paralelogramo formado pelos vetores
e
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de projeção vetorial e de cálculo de área usando produto vetorial. Vamos por partes!
Passo 2
Vamos começar com a projeção do vetor
sobre
. A projeção basicamente nos mostra qual parte de
está na direção de
.
A fórmula para a projeção de
sobre
é:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores, e
é o comprimento do vetor
.
Vamos calcular cada parte:
Primeiro, o produto escalar:
Onde
, e sabemos que
.
Mas primeiro, precisamos calcular
:
Agora, o produto escalar:
Agora, substituímos na fórmula da projeção:
Multiplicando o escalar pelo vetor
:
Passo 3
Agora vamos para a parte (b), que pede a área do paralelogramo formado pelos vetores
e
.
A área de um paralelogramo formado por dois vetores pode ser encontrada usando o produto vetorial:
Primeiro, vamos calcular
e
:
Mas, como não temos as componentes de
, vamos usar propriedades do produto vetorial. Sabemos que:
Sabemos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero:
E que
.
Então:
A magnitude disso será:
Agora, a magnitude do produto vetorial é dada por:
Substituindo os valores que já sabemos:
Portanto:
Resposta
a) A projeção do vetor
sobre o vetor
é
.
b) A área do paralelogramo determinado pelos vetores
e
é
.