Considere os vetores e , tais que e o ângulo entre e é . Determine:
(a) a projeção do vetor sobre o vetor .
(b) a área do paralelogramo determinado pelos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores, e com magnitude . Sabemos também que o ângulo entre eles é . O que a gente precisa descobrir aqui são duas coisas:
a) A projeção do vetor sobre o vetor .
b) A área do paralelogramo formado pelos vetores e .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de projeção vetorial e de cálculo de área usando produto vetorial. Vamos por partes!
Passo 2
Vamos começar com a projeção do vetor sobre . A projeção basicamente nos mostra qual parte de está na direção de .
A fórmula para a projeção de sobre é:
Aqui, é o produto escalar dos vetores, e é o comprimento do vetor .
Vamos calcular cada parte:
Primeiro, o produto escalar:
Onde , e sabemos que .
Mas primeiro, precisamos calcular :
Agora, o produto escalar:
Agora, substituímos na fórmula da projeção:
Multiplicando o escalar pelo vetor :
Passo 3
Agora vamos para a parte (b), que pede a área do paralelogramo formado pelos vetores e .
A área de um paralelogramo formado por dois vetores pode ser encontrada usando o produto vetorial:
Primeiro, vamos calcular e :
Mas, como não temos as componentes de , vamos usar propriedades do produto vetorial. Sabemos que:
Sabemos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero:
E que .
Então:
A magnitude disso será:
Agora, a magnitude do produto vetorial é dada por:
Substituindo os valores que já sabemos:
Portanto:
Resposta
a) A projeção do vetor sobre o vetor é .
b) A área do paralelogramo determinado pelos vetores e é .