Determine a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3, a, b), B(1,5,1) e C(-3,13,7).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores de e que tornam os pontos , e colineares. Isso envolve o conceito de colinearidade na geometria, que significa que três pontos estão na mesma linha reta. Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores e proporcionalidade entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa colinearidade usando vetores. Se três pontos são colineares, os vetores que ligam esses pontos devem ser paralelos, ou seja, um vetor é múltiplo do outro. Vamos calcular os vetores AB = B - A = (1 - 3, 5 - a, 1 - b) = (-2, 5 - a, 1 - b) e AC = C - A = (-3 - 3, 13 - a, 7 - b) = (-6, 13 - a, 7 - b) :

Passo 3

Agora, para que os vetores -2-6 = 5 - a13 - a = 1 - b7 - b e -2-6 = 13 sejam paralelos, cada componente de 5 - a13 - a = 13 e 1 - b7 - b = 13 deve ser proporcional à correspondente de . Isso significa que existe uma constante tal que:
Simplificando a primeira fração:
Então, temos:

Passo 4

Vamos resolver cada equação separadamente para encontrar 5 - a13 - a = 13 e 3(5 - a) = 1(13 - a) .
Para 15 - 3a = 13 - a :
15 - 13 = -a + 3a
Multiplicando em cruz:
2 = 2a implies a = 1
1 - b7 - b = 13
Agora, isolamos 3(1 - b) = 1(7 - b) :
3 - 3b = 7 - b
3 - 7 = -b + 3b
Para -4 = 2b implies b = -2 :
Multiplicando em cruz:
Isolando :

Resposta

Os valores que tornam os pontos colineares são e .

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