Considere os vetores v1=(2,-4,4) e v2=(3,0,3). Determine:
(a) o módulo dos vetores w1 e w2 que satisfazem as seguintes condições: w1 é paralelo a v1; w2 é ortogonal a v1; e v2=w1+w2.
(b) o ângulo formado pelos vetores w1 e v2, sendo w1 o vetor que satisfaz as relações do item (a).

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve vetores no espaço tridimensional. O enunciado nos pede para encontrar os módulos de dois vetores, w1 e w2, que têm certas relações com os vetores dados v1 e v2. Além disso, precisamos determinar o ângulo entre w1 e v2. Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores paralelos, vetores ortogonais, decomposição de vetores e cálculo de ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que w1 é paralelo a v1. Isso significa que w1 pode ser representado como um múltiplo escalar de v1, ou seja:
w1 = k cdot v1
onde k é um número escalar que precisamos determinar.

Passo 3

Sabemos também que w2 é ortogonal a v1. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou dot product) entre eles for zero. Portanto, temos:
w1 + w2 = v2
Como w1 = k cdot v1, substituímos na equação:
k cdot v1 + w2 = v2

Passo 4

Isolando w2, temos:
w2 = v2 - k cdot v1
Agora, como w2 é ortogonal a v1, o produto interno de w2 com v1 deve ser zero:
w2 cdot v1 = 0
Substituindo w2:
(v2 - k cdot v1) cdot v1 = 0

Passo 5

Calculando o produto interno:
v2 cdot v1 - k cdot (v1 cdot v1) = 0
Resolvendo para k:
k = v2 cdot v1v1 cdot v1

Passo 6

Vamos calcular os produtos internos:
v2 cdot v1 = 3 cdot 2 + 0 cdot (-4) + 3 cdot 4 = 6 + 0 + 12 = 18
v1 cdot v1 = 2^2 + (-4)^2 + 4^2 = 4 + 16 + 16 = 36
Logo,
k = 1836 = 0,5

Passo 7

Agora que temos o valor de k, podemos encontrar w1:
w1 = 0,5 cdot v1 = 0,5 cdot (2, -4, 4) = (1, -2, 2)

Passo 8

Com w1 conhecido, podemos determinar w2:
w2 = v2 - w1 = (3, 0, 3) - (1, -2, 2) = (2, 2, 1)

Passo 9

Agora, vamos calcular os módulos de w1 e w2 usando a fórmula do módulo de um vetor:
|w| = raizx^2 + y^2 + z^2
Para w1 = (1, -2, 2):
|w1| = raiz1^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3
Para w2 = (2, 2, 1):
|w2| = raiz2^2 + 2^2 + 1^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3

Passo 10

Para o item (b), precisamos encontrar o ângulo entre w1 e v2. Usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
costheta = w1 cdot v2|w1| cdot |v2|
Primeiro, calculamos o produto interno:
w1 cdot v2 = 1 cdot 3 + (-2) cdot 0 + 2 cdot 3 = 3 + 0 + 6 = 9
Calculamos o módulo de v2:
|v2| = raiz3^2 + 0^2 + 3^2 = raiz9 + 0 + 9 = raiz18 = 3raiz2
Então,
costheta = 93 cdot 3raiz2 = 99raiz2 = 1raiz2 approx 0,7071
Para encontrar o ângulo theta:
theta = arccos(1raiz2) approx 45^circ

Resposta

(a) Os módulos são |w1| = 3 e |w2| = 3.
(b) O ângulo entre w1 e v2 é aproximadamente 45^circ.

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