Considere os vetores e v2=(3,0,3). Determine:
(a) o módulo dos vetores w1 e w2 que satisfazem as seguintes condições: w1 é paralelo a v1; w2 é ortogonal a v1; e v2=w1+w2.
(b) o ângulo formado pelos vetores w1 e v2, sendo w1 o vetor que satisfaz as relações do item (a).
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve vetores no espaço tridimensional. O enunciado nos pede para encontrar os módulos de dois vetores, w1 e w2, que têm certas relações com os vetores dados v1 e v2. Além disso, precisamos determinar o ângulo entre w1 e v2. Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores paralelos, vetores ortogonais, decomposição de vetores e cálculo de ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que w1 é paralelo a v1. Isso significa que w1 pode ser representado como um múltiplo escalar de v1, ou seja:
w1 = k cdot v1
onde k é um número escalar que precisamos determinar.
Passo 3
Sabemos também que w2 é ortogonal a v1. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou dot product) entre eles for zero. Portanto, temos:
w1 + w2 = v2
Como w1 = k cdot v1, substituímos na equação:
k cdot v1 + w2 = v2
Passo 4
Isolando w2, temos:
w2 = v2 - k cdot v1
Agora, como w2 é ortogonal a v1, o produto interno de w2 com v1 deve ser zero: