Encontre o vetor w de forma que w seja paralelo ao vetor r=(u cdot v)(u-v), sendo u= 2 i+j e v=(1,3,-2),|w|=6 e w forme um ângulo agudo com o eixo das abscissas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor w que é paralelo ao vetor r = (u cdot v)(u - v). As informações que temos são:
  • u = 2i + j
  • v = (1, 3, -2)
  • O módulo de w é 6, ou seja, |w| = 6
  • w forma um ângulo agudo com o eixo das abscissas (eixo x)
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  1. Produto escalar (dot product) entre vetores.
  2. Como calcular a diferença entre dois vetores.
  3. O conceito de vetores paralelos.
  4. Como encontrar a magnitude de um vetor.
  5. Relação entre o vetor e o ângulo que ele forma com o eixo x.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre u e v. O produto escalar é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz
Mas como u tem componentes 2i + j, isso significa que u = (2, 1, 0). Então:
u cdot v = (2)(1) + (1)(3) + (0)(-2) = 2 + 3 + 0 = 5

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença entre os vetores u e v, ou seja, u - v. Subtraímos componente por componente:
u - v = (2 - 1, 1 - 3, 0 - (-2)) = (1, -2, 2)

Passo 4

Com o produto escalar e a diferença dos vetores calculados, podemos encontrar o vetor r:
r = (u cdot v)(u - v) = 5 times (1, -2, 2) = (5, -10, 10)

Passo 5

Sabemos que w é paralelo a r. Isso significa que w pode ser escrito como um múltiplo escalar de r:
w = k r
Queremos que o módulo de w seja 6, então:
|w| = |k| cdot |r| = 6
Primeiro, calculamos o módulo de r:
|r| = raiz5^2 + (-10)^2 + 10^2 = raiz25 + 100 + 100 = raiz225 = 15
Então:
|k| cdot 15 = 6 implies |k| = 615 = 25
Como w forma um ângulo agudo com o eixo x, o componente x de w deve ser positivo. Assim, k também é positivo:
k = 25

Passo 6

Agora, basta multiplicar o vetor r pelo valor de k encontrado:
w = 25 times (5, -10, 10) = ( 25 times 5, 25 times (-10), 25 times 10 ) = (2, -4, 4)

Resposta

O vetor w é (2, -4, 4).

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