Calcule o valor de x cdot y sabendo que a expressão d=raiz20 cdot alpha^x cdot t^y é dimensionalmente correta. Considere que d, alpha e t possuem dimensões de distância, aceleração e tempo, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de análise dimensional juntos! A questão nos pede para calcular o valor de na expressão , sabendo que a expressão é dimensionalmente correta. Para isso, vamos precisar entender as dimensões físicas de cada termo envolvido.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada variável:
  • representa distância, cuja dimensão é comprimento ( ).
  • representa aceleração, cuja dimensão é .
  • representa tempo, cuja dimensão é .

Passo 3

Como a expressão [d] = L é dimensionalmente correta, as dimensões dos dois lados da equação devem ser iguais. Vamos escrever as dimensões de cada lado:
Lado esquerdo:
[raiz20 cdot alpha^x cdot t^y] = [alpha]^x cdot [t]^y = (L cdot T^-2)^x cdot T^y = L^x cdot T^-2x cdot T^y = L^x cdot T^y - 2x
Lado direito:

Passo 4

Agora, igualamos as dimensões dos dois lados:
L = L^x cdot T^y - 2x
Isso nos dá duas equações baseadas nas dimensões de 1 = x e 0 = y - 2x :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Resolvendo as equações:
  1. Da primeira equação:
x = 1
  1. Substituindo 0 = y - 2(1) na segunda equação:
y = 2

Resposta

O valor de é .

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