Quando um corpo se move dentro de um fluido, sua velocidade varia de acordo com a expressão:
onde e possuem dimensão de força e tempo. Determine a equação dimensional da grandeza S , tal que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação que descreve a velocidade de um corpo se movendo dentro de um fluido:
Aqui, é força, é tempo, , , e são constantes com dimensões que a gente vai precisar descobrir. O que a gente precisa encontrar é a equação dimensional da grandeza , onde . Para isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a relacionar as dimensões das diferentes grandezas na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada uma das grandezas envolvidas na equação da velocidade . Sabemos que velocidade tem dimensão de comprimento dividido por tempo, ou seja:
Onde:
  • representa comprimento
  • representa tempo

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte da equação que envolve , , e :
Sabemos que força tem dimensão de massa vezes aceleração. A aceleração tem dimensão de comprimento por tempo ao quadrado, então:
Onde representa massa.

Passo 4

Como estamos dividindo por e o resultado dessa fração está multiplicado por um termo adimensional (a parte com o exponencial), a dimensão dessa fração deve ser igual à dimensão da velocidade :
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos isolar :
Então, a dimensão de é .

Passo 6

Sabemos que . Já temos . Agora precisamos descobrir a dimensão de .
Olha só na equação original, temos no expoente. Como o expoente de uma função exponencial precisa ser adimensional:
Isso significa que:
Substituindo e :

Passo 7

Agora que temos e , podemos encontrar a dimensão de :

Resposta

A equação dimensional da grandeza é:

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onde e possuem dimensão de massa, tempo, área e aceleração, respectivamente. Determine a unidade da grandeza k no S.I.
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onde , e possuem dimensão de energia, velocidade e pressão, respectivamente. Calcule .