Quando um corpo se move dentro de um fluido, sua velocidade V varia de acordo com a expressão:
V=Fk cdot eta cdot(1-e^-k cdot etaA cdot t)
onde F e t possuem dimensão de força e tempo. Determine a equação dimensional da grandeza S , tal que S=k cdot eta cdot A.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação que descreve a velocidade V = Fk cdot eta cdot (1 - e^-k cdot etaA cdot t) de um corpo se movendo dentro de um fluido:
Aqui, é força, é tempo, , , e são constantes com dimensões que a gente vai precisar descobrir. O que a gente precisa encontrar é a equação dimensional da grandeza , onde . Para isso, vamos usar a análise dimensional, que nos ajuda a relacionar as dimensões das diferentes grandezas na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada uma das grandezas envolvidas na equação da velocidade [V] = LT . Sabemos que velocidade tem dimensão de comprimento dividido por tempo, ou seja:
Onde:
  • representa comprimento
  • representa tempo

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte da equação que envolve Fk cdot eta , [F] = M cdot LT^2 , e :
Sabemos que força tem dimensão de massa vezes aceleração. A aceleração tem dimensão de comprimento por tempo ao quadrado, então:
Onde representa massa.

Passo 4

Como estamos dividindo [F][k] cdot [eta] = LT por M cdot LT^2[k] cdot [eta] = LT e o resultado dessa fração está multiplicado por um termo adimensional (a parte com o exponencial), a dimensão dessa fração deve ser igual à dimensão da velocidade :
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos isolar [k] cdot [eta] = M cdot LT^2 cdot TL = MT :
Então, a dimensão de é .

Passo 6

Sabemos que k cdot etaA cdot t deve ser adimensional . Já temos [k] cdot [eta][A] cdot [t] = 1 . Agora precisamos descobrir a dimensão de MT[A] cdot T = 1 Rightarrow M[A] = 1 Rightarrow [A] = M .
Olha só na equação original, temos no expoente. Como o expoente de uma função exponencial precisa ser adimensional:
Isso significa que:
Substituindo e :

Passo 7

Agora que temos [S] = [k] cdot [eta] cdot [A] = MT cdot M = M^2T e , podemos encontrar a dimensão de :

Resposta

A equação dimensional da grandeza [S] = M^2T é:

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