Determine a dimensão de
se a expressão
é dimensionalmente correta. Considere que
e
possuem dimensões de trabalho e velocidade, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir qual é a dimensão de
na expressão
para que essa expressão seja dimensionalmente correta. O conteúdo que vamos usar aqui é análise dimensional, que ajuda a verificar se as equações físicas estão corretas em termos de unidades. Vamos precisar saber as dimensões de
(trabalho) e
(velocidade).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada uma das variáveis que já conhecemos:
-
Trabalho (
): A dimensão do trabalho é dada por força vezes deslocamento. Em termos de unidades fundamentais, é: onde:-
= massa -
= comprimento -
= tempo
-
-
Velocidade (
): Velocidade é deslocamento dividido pelo tempo, então:
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão completa:
Para que essa expressão seja dimensionalmente correta, as dimensões de
têm que ser iguais às dimensões do lado direito da equação.
Vamos decompor o lado direito:
-
: -
: Ainda não sabemos as dimensões de . Vamos chamá-las de . -
: -
é uma constante adimensional. -
também precisa ser adimensional, porque o logaritmo de uma quantidade com dimensão não é definido. - Isso implica que
é adimensional. - Portanto, toda a expressão dentro do parênteses é adimensional, e elevar a uma potência também mantém a dimensão adimensional:
-
Então, juntando tudo:
Como
deve ter dimensões específicas, e a expressão completa precisa ser dimensionalmente correta,
deve compensar para que as dimensões de
sejam consistentes.
Passo 4
Para que a expressão seja dimensionally correta, as dimensões de
devem ser iguais às do lado direito:
Se a expressão é correta, então
deve ser adimensional para que:
Passo 5
Então, a dimensão de
é:
Isso significa que
tem as dimensões de massa vezes comprimento ao cubo dividido pelo tempo ao cubo.
Resposta
A dimensão de
é
.
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é dimensionalmente coreta, qual a dimensão da grandeza
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