Determine a dimensão de se a expressão
é dimensionalmente correta. Considere que e possuem dimensões de trabalho e velocidade, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir qual é a dimensão de na expressão
para que essa expressão seja dimensionalmente correta. O conteúdo que vamos usar aqui é análise dimensional, que ajuda a verificar se as equações físicas estão corretas em termos de unidades. Vamos precisar saber as dimensões de (trabalho) e (velocidade).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada uma das variáveis que já conhecemos:
  • Trabalho ( ): A dimensão do trabalho é dada por força vezes deslocamento. Em termos de unidades fundamentais, é:
    onde:
    • = massa
    • = comprimento
    • = tempo
  • Velocidade ( ): Velocidade é deslocamento dividido pelo tempo, então:

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão completa:
Para que essa expressão seja dimensionalmente correta, as dimensões de têm que ser iguais às dimensões do lado direito da equação.
Vamos decompor o lado direito:
  1. :
  2. : Ainda não sabemos as dimensões de . Vamos chamá-las de .
  3. :
    • é uma constante adimensional.
    • também precisa ser adimensional, porque o logaritmo de uma quantidade com dimensão não é definido.
    • Isso implica que é adimensional.
    • Portanto, toda a expressão dentro do parênteses é adimensional, e elevar a uma potência também mantém a dimensão adimensional:
Então, juntando tudo:
Como deve ter dimensões específicas, e a expressão completa precisa ser dimensionalmente correta, deve compensar para que as dimensões de sejam consistentes.

Passo 4

Para que a expressão seja dimensionally correta, as dimensões de devem ser iguais às do lado direito:
Se a expressão é correta, então deve ser adimensional para que:

Passo 5

Então, a dimensão de é:
Isso significa que tem as dimensões de massa vezes comprimento ao cubo dividido pelo tempo ao cubo.

Resposta

A dimensão de é .

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é dimensionalmente coreta, qual a dimensão da grandeza ? Considere que tem dimensão de energia e dimensão de velocidade.
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