A pressão p que exerce um fluido em movimento pode ser descrito, num caso particular, pela expressão:
p=m cdot V^x(alpha cdot t-ks)
onde m, t, s e alpha possuem dimensão de massa, tempo, área e aceleração, respectivamente. Determine a unidade da grandeza k no S.I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física que envolve pressão e dimensões das grandezas físicas. A ideia é descobrir qual é a unidade da grandeza no Sistema Internacional (SI). Para resolver isso, a gente vai precisar entender conceitos de dimensional análise, que ajuda a verificar se as equações fazem sentido em termos de unidades de medida.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a expressão que a gente tem:
p = m cdot V^x(alpha cdot t - ks)
Onde:
  • é a pressão,
  • é a massa,
  • é a velocidade,
  • é a aceleração,
  • é o tempo,
  • é a área,
  • é a grandeza que queremos descobrir a unidade.

Passo 3

Vamos lembrar das unidades de cada grandeza no Sistema Internacional:
  • Massa ( ): quilograma (kg),
  • Velocidade ( ): metro por segundo (m/s),
  • Aceleração ( ): metro por segundo ao quadrado (m/s²),
  • Tempo ( ): segundo (s),
  • Área ( ): metro quadrado (m²),
  • Pressão ( ): pascal (Pa), que é igual a kg/(m·s²).

Passo 4

Nossa missão é descobrir a unidade de Unidades de p = Unidades de m cdot V^x(alpha cdot t - ks) . Para isso, vamos usar a dimensional análise. Primeiro, precisamos que as unidades de ambos os lados da equação sejam iguais.
Então, temos:
Sabemos que:
  • tem unidades de kg/(m·s²),
  • tem unidades de kg,
  • tem unidades de m/s,
  • tem unidades de m/s²,
  • tem unidades de s,
  • tem unidades de m².

Passo 5

Vamos analisar o expoente:
x(alpha cdot t - ks)
Para que a expressão faça sentido, o expoente precisa ser adimensional (sem unidades). Isso é porque, matematicamente, um número só pode ser elevado a uma potência que não tenha dimensão.

Passo 6

Vamos garantir que o expoente seja adimensional:
alpha cdot t - ks deve ser adimensional
Sabemos que:
  • alpha cdot t = ms^2 cdot s = ms tem unidades de m/s²,
  • tem unidades de s,
  • tem unidades de m².
Então:
Isso tem unidades de velocidade (m/s).
Para que seja adimensional, a segunda parte também precisa ter unidades de velocidade (m/s), para que a subtração seja válida e o resultado seja sem dimensão.

Passo 7

Agora, vamos igualar as unidades de ks tem unidades de Unidade de km^2 = ms às unidades de velocidade:
Unidade de k = ms cdot m^2 = m^3s
Queremos descobrir as unidades de , então vamos isolar :

Passo 8

Prontinho! A unidade da grandeza no Sistema Internacional é metro cúbico por segundo.

Resposta

A unidade de no SI é metros cúbicos por segundo, ou seja, .

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