Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores de e para os quais os três planos dados passam pela mesma reta. O conteúdo envolve sistemas de equações lineares e a condição de existência de uma reta de interseção comum entre os planos. Para resolver, vamos precisar manipular e resolver sistemas de equações e entender como determinar se três planos compartilham uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações dos três planos:
2x - y + 3z - 1 = 0 (Plano 1) x + 2y - z + d = 0 (Plano 2) x + b y - 6z + 10 = 0 (Plano 3)
Para que os três planos passem pela mesma reta, as equações devem ser compatíveis e ter uma solução comum que representa essa reta.
Passo 3
Vamos resolver o sistema formado pelos Plano 1 e Plano 2 para encontrar uma relação entre 2x - y + 3z = 1 (1) x + 2y - z = -d (2) , 2x + 4y - 2z = -2d (2') e (2x + 4y - 2z) - (2x - y + 3z) = -2d - 1 . Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos optar pela eliminação.
Primeiro, reescrevemos as equações:
0x + 5y - 5z = -2d - 1
Multiplicamos a equação (2) por 2 para facilitar a eliminação de 5y - 5z = -2d - 1 :
y - z = -2d - 15 (3)
Agora, subtraímos a equação (1) da equação (2’):
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos expressar y = z + -2d - 15 em termos de x + 2(z + -2d - 15) - z = -d a partir da equação (3):
x + 2z + -4d - 25 - z = -d
Substituímos x + z + -4d - 25 = -d na equação (2):
x = -d - z - -4d - 25
x = -d - z + 4d + 25
x = -5d5 - z + 4d + 25
Isolando x = -5d + 4d + 25 - z :
x = -d + 25 - z
Passo 5
Agora, temos expressões para x = -d + 25 - z e y = z + -2d - 15 em termos de :
Isso descreve a reta de interseção entre o Plano 1 e o Plano 2 parametrizada por .
Passo 6
Para que o Plano 3 também contenha essa reta, os valores de x + b y - 6z + 10 = 0 , (-d + 25 - z) + b(z + -2d - 15) - 6z + 10 = 0 e da reta devem satisfazer a equação do Plano 3:
Substituindo e :
Passo 7
Vamos simplificar essa equação:
-d + 25 - z + b z + b cdot -2d - 15 - 6z + 10 = 0
Agrupando termos semelhantes:
(-d + 25 + b cdot -2d - 15 + 10) + (-z + b z - 6z) = 0
Fatorando:
-d + 2 - 2b d - b5 + 10 + z(b - 7) = 0
Passo 8
Para que essa equação seja válida para todos os b - 7 = 0 Rightarrow b = 7 , os coeficientes de -d + 2 - 2b d - b5 + 10 = 0 e o termo constante devem ser iguais a zero separadamente:
-d + 2 - 14 d - 75 + 10 = 0
-15 d - 55 + 10 = 0
Substituindo -3 d - 1 + 10 = 0 na segunda equação:
-3 d + 9 = 0 Rightarrow -3 d = -9 Rightarrow d = 3