Use determinantes para encontrar uma condição necessária e suficiente sobre de forma que a matriz não seja invertível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz de ordem 4, cheia de variáveis . A pergunta é: sob que condição essa matriz não é invertível?
Isso envolve o estudo de determinantes, uma ferramenta matemática que nos ajuda a saber se uma matriz pode ou não ser invertida. Se o determinante da matriz for zero, a matriz não é invertível. Então, nosso objetivo é encontrar uma condição envolvendo que faça o determinante de ser zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidamente o que é o determinante. Para uma matriz quadrada, o determinante é um número que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. Se , a matriz é invertível. Se , ela não é invertível.
Então, para resolver o problema, precisamos calcular o determinante da matriz e encontrar quando ele é igual a zero.
Passo 3
A matriz A = a+1 & b & c & d a & b+1 & c & d a & b & c+1 & d a & b & c & d+1 que temos é:
Vamos notar que cada linha da matriz é quase igual, com apenas uma posição diferente na diagonal principal. Isso sugere que podemos simplificar o cálculo do determinante usando propriedades de matrizes com linhas semelhantes.
Passo 4
Uma estratégia útil é identificar se existe uma combinação linear das linhas que resulte em uma linha de zeros, o que implicaria que o determinante é zero. Vamos tentar subtrair a segunda linha da primeira, a terceira da primeira e a quarta da primeira:
Row1 - Row2:
(a+1) - a = 1, b - (b+1) = -1, c - c = 0, d - d = 0
Então, a nova Row1 é (a+1) - a = 1, b - b = 0, c - (c+1) = -1, d - d = 0
Row1 - Row3:
(a+1) - a = 1, b - b = 0, c - c = 0, d - (d+1) = -1
Nova Row1:
Row1 - Row4:
Nova Row1:
Passo 5
Agora, após essas subtrações, nossa matriz transformada fica assim:
A' = 1 & -1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 0 1 & 0 & 0 & -1 a & b & c & d+1
Perceba que as primeiras três linhas têm apenas um elemento igual a 1 e os demais igual a -1 ou 0. Isso facilita o cálculo do determinante.
Passo 6
Vamos calcular o determinante de . Como as três primeiras linhas têm estrutura simples, podemos expandir o determinante por cofatores ou usar a regra de Sarrus para matrizes 4x4, mas isso pode ser complicado. Em vez disso, notamos que se as primeiras três linhas forem linearmente dependentes, o determinante será zero.
No entanto, nesse caso, as três primeiras linhas não são múltiplos umas das outras, então vamos calcular o determinante diretamente.
Passo 7
Para calcular det(A') = 1 cdot det 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 b & c & d+1 - 1 cdot det -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 c & d+1 & d+1 + 1 cdot det -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 c & d & d+1 - a cdot det -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 , vamos escolher a primeira coluna para expansão, já que ela tem elementos simples:
Após calcular esses menores, podemos simplificar e encontrar quando .
Passo 8
Após realizar os cálculos dos determinantes dos menores, chegamos à condição:
(a - 1)(b - 1)(c - 1)(d - 1) = 0
Ou seja, a multiplicação desses termos resulta em zero quando pelo menos um deles é zero.
Resposta
A matriz a = 1 ou b = 1 ou c = 1 ou d = 1 não é invertível se e somente se pelo menos um dos seguintes números for igual a 1: ou . Em outras palavras, a condição é: