L:r 2 x-y+2 z-3=0 x+2 y-z-1=0
Esboce tais planos juntamente com a reta L dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas equações que representam planos no espaço tridimensional e nos pede para esboçá-los junto com a reta L que é a solução desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre planos, sistemas de equações lineares e como encontrar uma reta que pertence a esses planos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações dos planos para ficar mais fácil de trabalhar:
  1. 2x - y + 2z - 3 = 0
  2. x + 2y - z - 1 = 0
Essas duas equações representam dois planos no espaço 3D. A reta L é a interseção desses dois planos, ou seja, todos os pontos que estão em ambos os planos ao mesmo tempo.

Passo 3

Para encontrar a reta L, precisamos resolver o sistema de equações. Vamos resolver o sistema para encontrar dois parâmetros: uma direção para a reta e um ponto por onde ela passa.
Vamos resolver o sistema de equações:
2x - y + 2z = 3 x + 2y - z = 1
Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Aqui, vamos usar o método de eliminação.

Passo 4

Primeiro, vamos multiplicar a segunda equação por 2 para facilitar a eliminação:
2(x + 2y - z) = 2(1) 2x + 4y - 2z = 2
Agora temos:
  1. 2x - y + 2z = 3
  2. 2x + 4y - 2z = 2

Passo 5

Agora, vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar o 2x:
(2x + 4y - 2z) - (2x - y + 2z) = 2 - 3 2x + 4y - 2z - 2x + y - 2z = -1 5y - 4z = -1
Então, temos:
5y - 4z = -1

Passo 6

Agora, vamos expressar uma das variáveis em função da outra. Vamos resolver para y em função de z:
5y = 4z - 1 y = 45z - 15
Aqui, podemos escolher z = t, onde t é um parâmetro real. Assim:
y = 45t - 15 z = t

Passo 7

Agora, substituímos y e z na segunda equação original para encontrar x:
x + 2(45t - 15) - t = 1 x + 85t - 25 - t = 1 x + 35t - 25 = 1 x = -35t + 25 + 1 x = -35t + 75

Passo 8

Agora, temos as expressões paramétricas da reta L:
x = -35t + 75 y = 45t - 15 z = t
Podemos reescrever isso de forma vetorial:
r(t) = (75, -15, 0) + t(-35, 45, 1)
Isso significa que a reta L passa pelo ponto (75, -15, 0) e tem a direção dada pelo vetor (-35, 45, 1).

Passo 9

Agora que temos a equação da reta, podemos esboçar os dois planos e a reta no espaço tridimensional. Lembre-se que a reta L é a interseção dos dois planos, então ela estará onde os dois planos se cruzam.
Para esboçar:
  • Desenhe os dois planos usando suas equações.
  • Marque o ponto (75, -15, 0) como um ponto por onde a reta passa.
  • Desenhe a reta na direção do vetor (-35, 45, 1).

Resposta

A reta L que é a interseção dos planos dados é definida pelas equações paramétricas:
x = 75 - 35t y = -15 + 45t z = t
Ou, de forma vetorial:
r(t) = (75, -15, 0) + t(-35, 45, 1)
Esse é o esboço dos planos juntamente com a reta L.

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