Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas equações que representam planos no espaço tridimensional e nos pede para esboçá-los junto com a reta que é a solução desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre planos, sistemas de equações lineares e como encontrar uma reta que pertence a esses planos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações dos planos para ficar mais fácil de trabalhar:
Essas duas equações representam dois planos no espaço 3D. A reta é a interseção desses dois planos, ou seja, todos os pontos que estão em ambos os planos ao mesmo tempo.
Passo 3
Para encontrar a reta , precisamos resolver o sistema de equações. Vamos resolver o sistema para encontrar dois parâmetros: uma direção para a reta e um ponto por onde ela passa.
Vamos resolver o sistema de equações:
Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Aqui, vamos usar o método de eliminação.
Passo 4
Primeiro, vamos multiplicar a segunda equação por 2 para facilitar a eliminação:
Agora temos:
Passo 5
Agora, vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar o :
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos expressar uma das variáveis em função da outra. Vamos resolver para em função de :
Aqui, podemos escolher , onde é um parâmetro real. Assim:
Passo 7
Agora, substituímos e na segunda equação original para encontrar :
Passo 8
Agora, temos as expressões paramétricas da reta :
Podemos reescrever isso de forma vetorial:
r(t) = (75, -15, 0) + t(-35, 45, 1)
Isso significa que a reta L passa pelo ponto (75, -15, 0) e tem a direção dada pelo vetor (-35, 45, 1).
Passo 9
Agora que temos a equação da reta, podemos esboçar os dois planos e a reta no espaço tridimensional. Lembre-se que a reta L é a interseção dos dois planos, então ela estará onde os dois planos se cruzam.
Para esboçar:
Desenhe os dois planos usando suas equações.
Marque o ponto (75, -15, 0) como um ponto por onde a reta passa.
Desenhe a reta na direção do vetor (-35, 45, 1).
Resposta
A reta L que é a interseção dos planos dados é definida pelas equações paramétricas:
x = 75 - 35t y = -15 + 45t z = t
Ou, de forma vetorial:
r(t) = (75, -15, 0) + t(-35, 45, 1)
Esse é o esboço dos planos juntamente com a reta L.