Sejam a reta determinada pelos pontos e , e o plano definido por .
Se é um espelho plano, sobre o qual incide o raio luminoso , represente parametricamente o raio refletido .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma reta que passa pelos pontos e . Também temos o plano definido pela equação . A questão nos pede para encontrar a representação paramétrica da reta refletida quando o raio luminoso incide sobre o espelho plano .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a equação da reta no espaço, a equação do plano, e a reflexão de vetores em relação a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a direção da reta . Como passa pelos pontos e , o vetor diretor da reta pode ser obtido pela diferença das coordenadas de e :
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta . Usando o ponto e o vetor diretor , temos:
Onde é o parâmetro real.
Passo 4
Para encontrar a reta refletida d' = d - 2 (d cdot n) n , precisamos calcular o vetor refletido em relação ao plano . A fórmula para refletir um vetor em relação a um plano é:
Onde é o vetor normal ao plano .
Passo 5
Vamos identificar o vetor normal n = (1, -2, -1) do plano . A equação geral do plano é , então os coeficientes , , e correspondem às componentes do vetor normal. Para :
Passo 6
Antes de aplicar a fórmula da reflexão, precisamos normalizar o vetor |n| = raiz1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 . A normalização é importante para garantir que o vetor normal tenha comprimento 1, facilitando os cálculos. A norma de n = ( 1raiz6, -2raiz6, -1raiz6 ) é:
Agora que temos o vetor diretor da reta refletida x - 2y - z + 2 = 0 (1 - t) - 2( -t ) - (-2t) + 2 = 0 1 - t + 2t + 2t + 2 = 0 1 + 3t + 2 = 0 3t + 3 = 0 t = -1 , precisamos encontrar um ponto que pertence a x = 1 - (-1) = 2 y = 0 - (-1) = 1 z = 0 - 2(-1) = 2 . Para isso, vamos encontrar o ponto de reflexão, ou seja, o ponto de interseção da reta com o plano .
Vamos substituir as equações paramétricas de na equação do plano :
Substituindo nas equações paramétricas de :
Então, o ponto de reflexão é .
Passo 10
Agora que temos o ponto x = 2 - 2s y = 1 + s z = 2 - s e o vetor diretor , podemos escrever a equação paramétrica da reta refletida :
Onde é o parâmetro real.
Resposta
A representação param��trica da reta refletida x = 2 - 2s y = 1 + s z = 2 - s é: