Sejam a reta L determinada pelos pontos P=(1,0,0) e Q=(0,-1,-2), e o plano Pi definido por x-2 y-z+2=0.
Se Pi é um espelho plano, sobre o qual incide o raio luminoso L, represente parametricamente o raio refletido L1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma reta que passa pelos pontos e . Também temos o plano definido pela equação . A questão nos pede para encontrar a representação paramétrica da reta refletida quando o raio luminoso incide sobre o espelho plano .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a equação da reta no espaço, a equação do plano, e a reflexão de vetores em relação a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da reta d = Q - P = (0 - 1, -1 - 0, -2 - 0) = (-1, -1, -2) . Como passa pelos pontos e , o vetor diretor da reta pode ser obtido pela diferença das coordenadas de e :

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta x = 1 - t y = 0 - t z = 0 - 2t . Usando o ponto e o vetor diretor , temos:
Onde é o parâmetro real.

Passo 4

Para encontrar a reta refletida d' = d - 2 (d cdot n) n , precisamos calcular o vetor refletido em relação ao plano . A fórmula para refletir um vetor em relação a um plano é:
Onde é o vetor normal ao plano .

Passo 5

Vamos identificar o vetor normal n = (1, -2, -1) do plano . A equação geral do plano é , então os coeficientes , , e correspondem às componentes do vetor normal. Para :

Passo 6

Antes de aplicar a fórmula da reflexão, precisamos normalizar o vetor |n| = raiz1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 . A normalização é importante para garantir que o vetor normal tenha comprimento 1, facilitando os cálculos. A norma de n = ( 1raiz6, -2raiz6, -1raiz6 ) é:
Então, o vetor normal unitário é:

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar d cdot n = (-1) ( 1raiz6 ) + (-1) ( -2raiz6 ) + (-2) ( -1raiz6 ) = -1 + 2 + 2raiz6 = 3raiz6 :

Passo 8

Aplicando a fórmula da reflexão:
d' = d - 2 (d cdot n) n = (-1, -1, -2) - 2 ( 3raiz6 ) ( 1raiz6, -2raiz6, -1raiz6 )
Vamos simplificar:
2 ( 3raiz6 ) 1raiz6 = 2 cdot 36 = 1
2 ( 3raiz6 ) -2raiz6 = 2 cdot -66 = -2
2 ( 3raiz6 ) -1raiz6 = 2 cdot -36 = -1
Então:
d' = (-1, -1, -2) - (1, -2, -1) = (-1 -1, -1 - (-2), -2 - (-1)) = (-2, 1, -1)

Passo 9

Agora que temos o vetor diretor da reta refletida x - 2y - z + 2 = 0 (1 - t) - 2( -t ) - (-2t) + 2 = 0 1 - t + 2t + 2t + 2 = 0 1 + 3t + 2 = 0 3t + 3 = 0 t = -1 , precisamos encontrar um ponto que pertence a x = 1 - (-1) = 2 y = 0 - (-1) = 1 z = 0 - 2(-1) = 2 . Para isso, vamos encontrar o ponto de reflexão, ou seja, o ponto de interseção da reta com o plano .
Vamos substituir as equações paramétricas de na equação do plano :
Substituindo nas equações paramétricas de :
Então, o ponto de reflexão é .

Passo 10

Agora que temos o ponto x = 2 - 2s y = 1 + s z = 2 - s e o vetor diretor , podemos escrever a equação paramétrica da reta refletida :
Onde é o parâmetro real.

Resposta

A representação param��trica da reta refletida x = 2 - 2s y = 1 + s z = 2 - s é:

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