Calcule os valores de b e d para os quais os planos
r 2 x-y+3 z-1=0 x+2 y-z+d=0 x+b y-6 z+10=0
são concorrentes em um único ponto;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem três planos representados pelas equações:
2x - y + 3z - 1 = 0 x + 2y - z + d = 0 x + b y - 6z + 10 = 0
O objetivo é encontrar os valores de b e d que fazem com que esses três planos se encontrem em um único ponto. Isso significa que o sistema de equações tem uma solução única.

Passo 2

Para que três planos se intersectem em um único ponto, o sistema de equações lineares correspondente deve ter solução única. Isso acontece quando o determinante da matriz dos coeficientes não é zero.
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes:
A = 2 & -1 & 3 1 & 2 & -1 1 & b & -6
E o vetor das constantes:
C = 1 -d -10

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz A. O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem solução única.
Vamos calcular:
det(A) = 2 cdot (2 cdot (-6) - (-1) cdot b) - (-1) cdot (1 cdot (-6) - (-1) cdot 1) + 3 cdot (1 cdot b - 2 cdot 1)
Simplificando cada parte:
det(A) = 2 cdot (-12 + b) + 1 cdot ( -6 + 1 ) + 3 cdot (b - 2)
det(A) = 2(-12 + b) + (-5) + 3(b - 2)
det(A) = (-24 + 2b) - 5 + 3b - 6
det(A) = 5b - 35

Passo 4

Para que o sistema tenha solução única, precisamos que det(A) neq 0. Então:
5b - 35 neq 0 5b neq 35 b neq 7
Então, b não pode ser igual a 7. Mas o exercício pede valores específicos para b e d que assegurem a interseção em um único ponto. Isso significa que precisamos também garantir que o sistema seja consistente.

Passo 5

Vamos usar o método de substituição ou eliminação para resolver o sistema e encontrar uma relação entre b e d. Vou optar pela eliminação.
Vamos começar com as duas primeiras equações:
  1. 2x - y + 3z = 1
  2. x + 2y - z = -d
  3. x + b y - 6z = -10
Primeiro, vamos isolar uma variável. Vou isolar x na segunda equação:
x = -d - 2y + z

Passo 6

Agora, substituímos x nas outras equações.
Substituindo na primeira equação:
2(-d - 2y + z) - y + 3z = 1 -2d -4y + 2z - y + 3z = 1 -2d -5y + 5z = 1 (Equaç��o 4) ç
Substituindo na terceira equação:
(-d - 2y + z) + b y - 6z = -10 -d -2y + z + b y -6z = -10 -d + (b -2)y -5z = -10 (Equação 5) çã

Passo 7

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas ( y e z):
  1. -2d -5y + 5z = 1
  2. -d + (b -2)y -5z = -10
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos somar as duas equações para eliminar z:
(-2d -5y + 5z) + (-d + (b -2)y -5z) = 1 + (-10) -3d + (b -7)y = -9
Isso nos dá:
-3d + (b -7)y = -9 (Equação 6) çã

Passo 8

Agora, para que o sistema tenha solução única, precisamos que as equações não sejam múltiplas umas das outras, o que já garantimos com b neq 7.
A partir da Equação 6:
-3d + (b -7)y = -9 (b -7)y = 3d -9 y = 3d -9b -7
Agora, vamos substituir y na Equação 4:
-2d -5(3d -9b -7) + 5z = 1 -2d - 15d -45b -7 + 5z = 1
Multiplicando todos os termos por (b -7) para eliminar o denominador:
-2d(b -7) - (15d -45) + 5z(b -7) = (b -7) -2db + 14d -15d +45 +5zb -35z = b -7 -2db - d +45 +5zb -35z = b -7

Passo 9

Vamos isolar z:
5zb -35z = 2db + d -45 + b -7 z(5b -35) = 2db + d + b -52
Lembrando que 5b -35 neq 0 (já que b neq 7), podemos resolver para z:
z = 2db + d + b -525b -35

Passo 10

Agora que temos y e z em termos de d e b, podemos substituir esses valores na expressão de x que encontramos anteriormente:
x = -d - 2y + z x = -d - 2(3d -9b -7) + 2db + d + b -525b -35
Para que o sistema tenha uma solução única, precisamos que todas essas expressões sejam consistentes. Ou seja, devemos escolher b e d de forma que não haja contradições.

Passo 11

Para simplificar, vamos escolher um valor para d e resolver para b, ou vice-versa. Vamos optar por expressar d em termos de b.
Da Equação 6:
-3d + (b -7)y = -9 -3d + (b -7)(3d -9b -7) = -9 -3d + 3d -9 = -9 -9 = -9
Isso é sempre verdadeiro, o que significa que nossa escolha até agora está correta e não impõe restrições adicionais além de b neq 7.

Resposta

Os valores de b e d podem ser quaisquer números reais, desde que b neq 7. Assim, para que os planos sejam concorrentes em um único ponto, devemos ter:
b neq 7
E a variável d pode ser qualquer valor real.

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