Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem três planos representados pelas equações:
2x - y + 3z - 1 = 0 x + 2y - z + d = 0 x + b y - 6z + 10 = 0
O objetivo é encontrar os valores de b e d que fazem com que esses três planos se encontrem em um único ponto. Isso significa que o sistema de equações tem uma solução única.
Passo 2
Para que três planos se intersectem em um único ponto, o sistema de equações lineares correspondente deve ter solução única. Isso acontece quando o determinante da matriz dos coeficientes não é zero.
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes:
A = 2 & -1 & 3 1 & 2 & -1 1 & b & -6
E o vetor das constantes:
C = 1 -d -10
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz A. O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem solução única.
Para que o sistema tenha solução única, precisamos que det(A) neq 0. Então:
5b - 35 neq 0 5b neq 35 b neq 7
Então, b não pode ser igual a 7. Mas o exercício pede valores específicos para b e d que assegurem a interseção em um único ponto. Isso significa que precisamos também garantir que o sistema seja consistente.
Passo 5
Vamos usar o método de substituição ou eliminação para resolver o sistema e encontrar uma relação entre b e d. Vou optar pela eliminação.
Vamos começar com as duas primeiras equações:
2x - y + 3z = 1
x + 2y - z = -d
x + b y - 6z = -10
Primeiro, vamos isolar uma variável. Vou isolar x na segunda equação:
Multiplicando todos os termos por (b -7) para eliminar o denominador:
-2d(b -7) - (15d -45) + 5z(b -7) = (b -7) -2db + 14d -15d +45 +5zb -35z = b -7 -2db - d +45 +5zb -35z = b -7
Passo 9
Vamos isolar z:
5zb -35z = 2db + d -45 + b -7 z(5b -35) = 2db + d + b -52
Lembrando que 5b -35 neq 0 (já que b neq 7), podemos resolver para z:
z = 2db + d + b -525b -35
Passo 10
Agora que temos y e z em termos de d e b, podemos substituir esses valores na expressão de x que encontramos anteriormente:
x = -d - 2y + z x = -d - 2(3d -9b -7) + 2db + d + b -525b -35
Para que o sistema tenha uma solução única, precisamos que todas essas expressões sejam consistentes. Ou seja, devemos escolher b e d de forma que não haja contradições.
Passo 11
Para simplificar, vamos escolher um valor para d e resolver para b, ou vice-versa. Vamos optar por expressar d em termos de b.