Verifique se os conjuntos abaixo, com as operações definidas, sâo ou nâo espaços vetoriais reais. O conjunto de todos os triplos de números reais da forma (20, x,-2) com as operações:
(20, x0,-2)+(20, y0,-2)=(20, x0+y0,-2) e lambda(20, x0,-2)=(20, lambda x0,-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer verificar se o conjunto dado é um espaço vetorial real. O enunciado fala sobre triplos de números reais na forma (20, x, -2) com operações de adição e multiplicação por escalar definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender os axiomas de espaços vetoriais e ver se esses triplos cumprem todas as regras necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores onde você pode adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (escalar), e tudo isso segue certas regras chamadas axiomas. Existem 10 axiomas que precisam ser satisfeitos, como existência de um vetor nulo, existência de inversos, associatividade, comutatividade da adição, etc.

Passo 3

Vamos dar uma olhada no nosso conjunto: são todos os triplos da forma (20, x, -2). Isso significa que o primeiro componente é sempre 20, o terceiro é sempre -2, e só o segundo componente pode variar.

Passo 4

Agora, vamos ver as operações definidas:
  • Adição: (20, x0, -2) + (20, y0, -2) = (20, x0 + y0, -2)
  • Multiplicação por escalar: lambda(20, x0, -2) = (20, lambda x0, -2)

Passo 5

Vamos verificar o axioma do vetor nulo. Em um espaço vetorial, deve existir um vetor nulo que, quando adicionado a qualquer vetor do espaço, não o altera. No caso dos vetores reais R^3, o vetor nulo é (0, 0, 0).

Passo 6

No nosso conjunto, o vetor nulo seria o vetor que, quando adicionado a qualquer (20, x, -2), resulta no próprio (20, x, -2). Olhando para a definição da adição:
(20, x, -2) + (Vetor Nulo) = (20, x + 0, -2) = (20, x, -2)
Isso implica que o vetor nulo no nosso conjunto seria (20, 0, -2). Mas, espere aí! O vetor nulo padrão em R^3 é (0, 0, 0), que não pertence ao nosso conjunto, já que o primeiro componente é 20 e o terceiro é -2.

Passo 7

Além disso, para que seja um espaço vetorial, o vetor nulo precisa ser único e compatível com a estrutura do espaço. Como não temos o vetor nulo padrão (0, 0, 0) no nosso conjunto, já falhamos em um dos axiomas essenciais.

Passo 8

Como não satisfazemos o axioma do vetor nulo, não precisamos verificar os outros axiomas. Se até um falhar, o conjunto não é um espaço vetorial.

Resposta

Não, o conjunto dado não é um espaço vetorial real porque não contém o vetor nulo necessário para satisfazer os axiomas de espaços vetoriais.

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