Verifique se os conjuntos abaixo, com as operações definidas, sâo ou nâo espaços vetoriais reais. O conjunto de todos os triplos de números reais da forma
com as operações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer verificar se o conjunto dado é um espaço vetorial real. O enunciado fala sobre triplos de números reais na forma
com operações de adição e multiplicação por escalar definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender os axiomas de espaços vetoriais e ver se esses triplos cumprem todas as regras necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores onde você pode adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um número (escalar), e tudo isso segue certas regras chamadas axiomas. Existem 10 axiomas que precisam ser satisfeitos, como existência de um vetor nulo, existência de inversos, associatividade, comutatividade da adição, etc.
Passo 3
Vamos dar uma olhada no nosso conjunto: são todos os triplos da forma
. Isso significa que o primeiro componente é sempre 20, o terceiro é sempre -2, e só o segundo componente pode variar.
Passo 4
Agora, vamos ver as operações definidas:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Passo 5
Vamos verificar o axioma do vetor nulo. Em um espaço vetorial, deve existir um vetor nulo que, quando adicionado a qualquer vetor do espaço, não o altera. No caso dos vetores reais
, o vetor nulo é
.
Passo 6
No nosso conjunto, o vetor nulo seria o vetor que, quando adicionado a qualquer
, resulta no próprio
. Olhando para a definição da adição:
Isso implica que o vetor nulo no nosso conjunto seria
. Mas, espere aí! O vetor nulo padrão em
é
, que não pertence ao nosso conjunto, já que o primeiro componente é 20 e o terceiro é -2.
Passo 7
Além disso, para que seja um espaço vetorial, o vetor nulo precisa ser único e compatível com a estrutura do espaço. Como não temos o vetor nulo padrão
no nosso conjunto, já falhamos em um dos axiomas essenciais.
Passo 8
Como não satisfazemos o axioma do vetor nulo, não precisamos verificar os outros axiomas. Se até um falhar, o conjunto não é um espaço vetorial.
Resposta
Não, o conjunto dado não é um espaço vetorial real porque não contém o vetor nulo necessário para satisfazer os axiomas de espaços vetoriais.