Determine se é verdadeiro ou falso que:
© Seja
uma matriz de ordem
. A matriz resultante de substituir em
exatamente a linha
por
é linha equivalente a
.
© Seja
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma matriz
de ordem
. O exercício pergunta se, ao substituir a última linha
de
pela soma das linhas anteriores
, a nova matriz resultante será equivalente por linhas à matriz original
. Vamos usar conceitos de equivalência de matrizes e operações elementares de linha para resolver isso.
Passo 2
Equivalência por linhas significa que uma matriz pode ser transformada em outra através de uma série de operações elementares de linha. As operações elementares são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero e adicionar a uma linha múltiplos de outra linha.
Passo 3
No nosso caso, estamos substituindo a linha
por
. Essa operação pode ser vista como adicionar todas as linhas anteriores e substituir a última linha. Vamos verificar se isso pode ser alcançado através das operações elementares.
Passo 4
Para substituir
por
, podemos fazer o seguinte:
- Adicionar
a . - Adicionar
ao resultado anterior. - Continuar adicionando cada linha até
.
Cada uma dessas adições é uma operação elementar de adicionar um múltiplo de uma linha a outra (nesse caso, o múltiplo é 1). Assim, a substituição completa pode ser realizada através de múltiplas operações elementares.
Passo 5
Como conseguimos transformar
na nova matriz usando apenas operações elementares de linha, isso significa que as duas matrizes são equivalentes por linhas.
Resposta
Verdadeiro. A matriz resultante é linha equivalente a
.