Determine se é verdadeiro ou falso que:
© Seja A uma matriz de ordem m times n. A matriz resultante de substituir em A exatamente a linha Lm por L1+ldots+Lm-1 é linha equivalente a A.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma matriz de ordem . O exercício pergunta se, ao substituir a última linha de pela soma das linhas anteriores , a nova matriz resultante será equivalente por linhas à matriz original . Vamos usar conceitos de equivalência de matrizes e operações elementares de linha para resolver isso.

Passo 2

Equivalência por linhas significa que uma matriz pode ser transformada em outra através de uma série de operações elementares de linha. As operações elementares são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero e adicionar a uma linha múltiplos de outra linha.

Passo 3

No nosso caso, estamos substituindo a linha por . Essa operação pode ser vista como adicionar todas as linhas anteriores e substituir a última linha. Vamos verificar se isso pode ser alcançado através das operações elementares.

Passo 4

Para substituir por , podemos fazer o seguinte:
  1. Adicionar a .
  2. Adicionar ao resultado anterior.
  3. Continuar adicionando cada linha até .
Cada uma dessas adições é uma operação elementar de adicionar um múltiplo de uma linha a outra (nesse caso, o múltiplo é 1). Assim, a substituição completa pode ser realizada através de múltiplas operações elementares.

Passo 5

Como conseguimos transformar na nova matriz usando apenas operações elementares de linha, isso significa que as duas matrizes são equivalentes por linhas.

Resposta

Verdadeiro. A matriz resultante é linha equivalente a .

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