O vetor v=[ccc2 & -3 & 4 1 & 1 & -2 -1 & 0 & 3] in M3 times 3(R) é combinação linear dos vetores
v1=[ccc 2 & -3 & 4 1 & 1 & -2 -1 & 0 & 3 ], v2=[ccc 4 & -6 & 8 2 & 2 & -4 -2 & 0 & 6 ], e v3=[lll 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ] ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um vetor v, que na verdade é uma matriz 3x3, e diz que ele é uma combinação linear de outros três vetores: v1, v2 e v3. Nosso objetivo aqui é encontrar os coeficientes que multiplicam cada um desses vetores nessa combinação. Para isso, vamos precisar entender como resolver sistemas de equações lineares e usar um pouco de álgebra matricial.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear de v1, v2 e v3 igualando-a ao vetor v dado. Matematicamente, isso fica assim:
v = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3
Onde a, b e c são os coeficientes que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, substituímos os valores dos vetores na equação:
2 & -3 & 4 1 & 1 & -2 -1 & 0 & 3 = a cdot 2 & -3 & 4 1 & 1 & -2 -1 & 0 & 3 + b cdot 4 & -6 & 8 2 & 2 & -4 -2 & 0 & 6 + c cdot 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 4

Perceba que v3 é a matriz zero, então qualquer número multiplicado por ela ainda será a matriz zero. Isso simplifica nossa equação para:
v = a cdot v1 + b cdot v2

Passo 5

Vamos agora escrever isso componente a componente. Comparando cada posição das matrizes, temos o seguinte sistema de equações:
2 = 2a + 4b -3 = -3a -6b 4 = 4a +8b 1 = a + 2b 1 = a + 2b -2 = -2a -4b -1 = -a -2b 0 = 0a +0b 3 = 3a +6b

Passo 6

Observamos que muitas dessas equações são equivalentes, ou seja, repetem a mesma informação. Vamos resolver uma delas, por exemplo:
1 = a + 2b
Vamos isolar a:
a = 1 - 2b

Passo 7

Agora, substituímos a = 1 - 2b em outra equação, por exemplo:
2 = 2a +4b
Substituindo:
2 = 2(1 - 2b) +4b 2 = 2 -4b +4b 2 = 2
Essa equação não nos dá nova informação, o que indica que o sistema possui infinitas soluções para a e b, dependendo do valor escolhido para um deles.

Passo 8

Para simplificar, podemos escolher b = 0. Então, substituindo na equação a = 1 - 2b:
a = 1 - 2(0) a = 1

Passo 9

Com a = 1 e b = 0, a combinação linear fica:
v = 1 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3

Resposta

Portanto, os coeficientes são a = 1, b = 0 e c = 0, ou seja:
v = 1 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3

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