Calcule os valores esperados de
para o estado fundamental do poço quadrado infinito. Verifique se o princípio da incerteza foi satisfeito.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o estado fundamental do poço quadrado infinito. A gente precisa calcular os valores esperados de
,
,
,
,
e
. Depois, vamos verificar se o princípio da incerteza está sendo respeitado. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como funções de onda e operadores de observáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a função de onda para o estado fundamental de um poço quadrado infinito. O poço tem largura
e as paredes são infinitamente altas, ou seja, a partícula está confinada entre
e
.
A função de onda para o estado fundamental é dada por:
Essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado de
, que é
. Isso significa a média das posições possíveis ponderadas pela probabilidade.
A fórmula para
é:
Substituindo
:
Resolvendo essa integral, encontramos que
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Resolvendo essa integral, obtemos
.
Passo 5
Para calcular a incerteza em
, que é
, usamos a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor esperado de
, que é
. Para uma partícula no estado fundamental, devido à simetria da função de onda,
.
Passo 7
Em seguida, calculamos
. Usamos o operador de momento
:
Passo 8
A incerteza em
,
, é dada por:
Passo 9
Por último, vamos verificar o princípio da incerteza de Heisenberg, que afirma que:
Substituindo os valores de
e
que calculamos:
Após simplificar, constatamos que a desigualdade é satisfeita, confirmando o princípio da incerteza.
Resposta
Os valores esperados para o estado fundamental do poço quadrado infinito são:
Além disso, verificamos que o princípio da incerteza de Heisenberg é satisfeito, pois: