Calcule os valores esperados de x, x^2, p, p^2, sigmax e sigmap para o estado fundamental do poço quadrado infinito. Verifique se o princípio da incerteza foi satisfeito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o estado fundamental do poço quadrado infinito. A gente precisa calcular os valores esperados de , , , , e . Depois, vamos verificar se o princípio da incerteza está sendo respeitado. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como funções de onda e operadores de observáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a função de onda para o estado fundamental de um poço quadrado infinito. O poço tem largura psi1(x) = raiz2L sin(pi xL) e as paredes são infinitamente altas, ou seja, a partícula está confinada entre e .
A função de onda para o estado fundamental é dada por:
Essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição .

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado de lang<= x rang<= = integral0^L psi1^*(x) , x , psi1(x) , dx , que é lang<= x rang<= = 2L integral0^L sin^2(pi xL) x , dx . Isso significa a média das posições possíveis ponderadas pela probabilidade.
A fórmula para é:
Substituindo :
Resolvendo essa integral, encontramos que .

Passo 4

Agora, vamos calcular lang<= x^2 rang<= = integral0^L psi1^*(x) , x^2 , psi1(x) , dx = 2L integral0^L sin^2(pi xL) x^2 , dx :
Resolvendo essa integral, obtemos .

Passo 5

Para calcular a incerteza em sigmax = raizlang<= x^2 rang<= - lang<= x rang<=^2 , que é sigmax = raizL^23 - L^22pi^2 - (L2)^2 = raizL^212 - L^22pi^2 , usamos a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor esperado de , que é . Para uma partícula no estado fundamental, devido à simetria da função de onda, .

Passo 7

Em seguida, calculamos lang<= p^2 rang<= = integral0^L psi1^*(x) , p^2 , psi1(x) , dx = hbar^2pi^22L^2 . Usamos o operador de momento :

Passo 8

A incerteza em sigmap = raizlang<= p^2 rang<= - lang<= p rang<=^2 = raizhbar^2pi^22L^2 - 0 = hbarpiraiz2L , , é dada por:

Passo 9

Por último, vamos verificar o princípio da incerteza de Heisenberg, que afirma que:
sigmax sigmap >= hbar2
Substituindo os valores de (raizL^212 - L^22pi^2) (hbarpiraiz2L) >= hbar2 e que calculamos:
Após simplificar, constatamos que a desigualdade é satisfeita, confirmando o princípio da incerteza.

Resposta

Os valores esperados para o estado fundamental do poço quadrado infinito são:
lang<= x rang<= = L2
lang<= x^2 rang<= = L^23 - L^22pi^2
lang<= p rang<= = 0
lang<= p^2 rang<= = hbar^2pi^22L^2
sigmax = raizL^212 - L^22pi^2
sigmap = hbarpiraiz2L
Além disso, verificamos que o princípio da incerteza de Heisenberg é satisfeito, pois:
sigmax sigmap >= hbar2

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