uma corda sâo idênticas, a Ambas obedecem à equasinal de mais ou menos lesloca. a) Mostre que a ão
ométricas para sen (
nos lugares em que
rativo.
na corda
são descritas pela
e
ponto
. Calcule o fio e a) os nós da ionária.
de uma onda estama partícula situatude igual a 0,850 ore o eixo
e se ia entre nós adjalitude e a velociessa configurama e mínima de cia ao longo da
a) Mediante sen
é uma
ra
da para ondas írias.
diagrama que mostre a configuração da onda estacionária. b) Calcule a amplitude das duas ondas progressivas que compõem essa onda estacionária. c) Qual é o comprimento da corda? d) Calcule o comprimento de onda, a frequiência, o período e a velocidade das ondas progressivas. e) Calcule a velocidade transversal máxima de um ponto na corda. f) Qual seria a equação
para essa corda se ela estivesse vibrando em seu oitavo harmônico?
na corda
são descritas pela
de uma onda estama partícula situatude igual a 0,850 ore o eixo
a) Mediante sen
ra
da para ondas írias.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre ondas estacionárias em uma corda onde duas ondas idênticas estão viajando em direções opostas. A gente vai precisar entender conceitos de ondas, como frequência, comprimento de onda, e como elas se combinam para formar uma onda estacionária. As informações que temos são:
- Frequência angular,
rad/s - Número de onda,
rad/m
Vamos lá resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
a) Mostrar que a equação
representa uma onda estacionária.
Primeiro, precisamos entender como duas ondas que viajam em direções opostas se combinam. Suponha que temos uma onda indo para a direita:
e outra indo para a esquerda:
.
Quando somamos essas duas ondas:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Essa é a equação de uma onda estacionária, onde a amplitude varia no espaço (
) e o tempo (
) separadamente.
Passo 3
b) Calcular os nós da onda estacionária.
Nós são os pontos na corda onde a amplitude da onda estacionária é sempre zero. Olhando para a equação
, os nós ocorrem quando
.
Resolvendo
:
Isolando
:
Substituindo
:
Então, os nós estão localizados em
metros, onde
é um número inteiro.
Passo 4
c) Calcular a amplitude das duas ondas progressivas que compõem essa onda estacionária.
Na equação da onda estacionária,
, o termo
representa a amplitude máxima da onda estacionária. Isso vem da superposição das duas ondas progressivas, cada uma com amplitude
.
Portanto, cada onda progressiva tem amplitude
, e a amplitude da onda estacionária é
.
Passo 5
d) Qual é o comprimento da corda?
Os nós na onda estacionária estão a uma distância de
metros. O comprimento da corda ocorre entre dois nós consecutivos (quando
aumenta de 0 para 1):
Esse é o segmento entre dois nós, que corresponde a metade do comprimento de onda (
).
Então, o comprimento da corda para um modo específico depende do número de nós. Se considerarmos que a corda tem comprimento
, então para o primeiro modo (
):
Passo 6
e) Calcular o comprimento de onda, a frequência, o período e a velocidade das ondas progressivas.
Vamos calcular cada um desses parâmetros:
-
Comprimento de onda (
): Sabemos que entre dois nós consecutivos há: -
Frequência (
): Relação entre frequência angular e frequência: -
Período (
): Relação entre período e frequência: -
Velocidade (
): Relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
Passo 7
f) Calcular a velocidade transversal máxima de um ponto na corda.
A velocidade transversal máxima (
) ocorre quando
. A equação da onda estacionária é:
A derivada em relação ao tempo nos dá a velocidade:
A velocidade máxima ocorre quando
:
Sem o valor específico de
, a expressão geral é
.
Passo 8
g) Qual seria a equação
para essa corda se ela estivesse vibrando em seu oitavo harmônico?
Para o oitavo harmônico, o número de ondas completas na corda é 8. O número de onda
e a frequência
para o
-ésimo harmônico são:
Onde
e
são o número de onda e a frequência do primeiro harmônico.
Então, para
:
A equação da onda estacionária para o oitavo harmônico será:
Resposta
A equação da onda estacionária para o oitavo harmônico é:
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