uma corda sâo idênticas, a Ambas obedecem à equasinal de mais ou menos lesloca. a) Mostre que a ão y iotal (x, t)=2 A sen k x ométricas para sen ( a pm nos lugares em que x= rativo.
na corda
são descritas pela 42 rad / s e k=0,750 pi ponto x=0. Calcule o fio e a) os nós da ionária.
de uma onda estama partícula situatude igual a 0,850 ore o eixo O x e se ia entre nós adjalitude e a velociessa configurama e mínima de cia ao longo da
a) Mediante sen omega t é uma
ra v=omega / k b)
da para ondas írias.
(k x-omega t)] diagrama que mostre a configuração da onda estacionária. b) Calcule a amplitude das duas ondas progressivas que compõem essa onda estacionária. c) Qual é o comprimento da corda? d) Calcule o comprimento de onda, a frequiência, o período e a velocidade das ondas progressivas. e) Calcule a velocidade transversal máxima de um ponto na corda. f) Qual seria a equação y(x, t) para essa corda se ela estivesse vibrando em seu oitavo harmônico?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre ondas estacionárias em uma corda onde duas ondas idênticas estão viajando em direções opostas. A gente vai precisar entender conceitos de ondas, como frequência, comprimento de onda, e como elas se combinam para formar uma onda estacionária. As informações que temos são:
  • Frequência angular, rad/s
  • Número de onda, rad/m
Vamos lá resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

a) Mostrar que a equação ytotal(x, t) = y1 + y2 = A sin(kx - omega t) + A sin(kx + omega t) representa uma onda estacionária.
Primeiro, precisamos entender como duas ondas que viajam em direções opostas se combinam. Suponha que temos uma onda indo para a direita: ytotal(x, t) = 2A sin(kx) cos(omega t) e outra indo para a esquerda: .
Quando somamos essas duas ondas:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Essa é a equação de uma onda estacionária, onde a amplitude varia no espaço ( ) e o tempo ( ) separadamente.

Passo 3

b) Calcular os nós da onda estacionária.
Nós são os pontos na corda onde a amplitude da onda estacionária é sempre zero. Olhando para a equação kx = npi onde n = 0, 1, 2, 3, ldots , os nós ocorrem quando x = npik .
Resolvendo x = npi0,750pi = n0,750 = 4n3 metros :
Isolando :
Substituindo :
Então, os nós estão localizados em metros, onde é um número inteiro.

Passo 4

c) Calcular a amplitude das duas ondas progressivas que compõem essa onda estacionária.
Na equação da onda estacionária, , o termo representa a amplitude máxima da onda estacionária. Isso vem da superposição das duas ondas progressivas, cada uma com amplitude .
Portanto, cada onda progressiva tem amplitude , e a amplitude da onda estacionária é .

Passo 5

d) Qual é o comprimento da corda?
Os nós na onda estacionária estão a uma distância de De metros. O comprimento da corda ocorre entre dois nós consecutivos (quando L = 43 metros aumenta de 0 para 1):
Esse é o segmento entre dois nós, que corresponde a metade do comprimento de onda ( ).
Então, o comprimento da corda para um modo específico depende do número de nós. Se considerarmos que a corda tem comprimento , então para o primeiro modo ( ):

Passo 6

e) Calcular o comprimento de onda, a frequência, o período e a velocidade das ondas progressivas.
Vamos calcular cada um desses parâmetros:
  1. Comprimento de onda ( lambda2 = 43 Rightarrow lambda = 83 metros ):
    Sabemos que entre dois nós consecutivos há omega = 2pi f Rightarrow f = omega2pi = 422pi approx 6,69 Hz :
    T = 1f approx 16,69 approx 0,149 segundos
  2. Frequência ( v = f lambda = 6,69 times 83 approx 17,84 m/s ):
    Relação entre frequência angular e frequência:
  3. Período ( ):
    Relação entre período e frequência:
  4. Velocidade ( ):
    Relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:

Passo 7

f) Calcular a velocidade transversal máxima de um ponto na corda.
A velocidade transversal máxima ( ytotal(x, t) = 2A sin(kx) cos(omega t) ) ocorre quando v(x, t) = partial ypartial t = -2A sin(kx) omega sin(omega t) . A equação da onda estacionária é:
vmax = 2A omega sin(kx)
A derivada em relação ao tempo nos dá a velocidade:
A velocidade máxima ocorre quando :
Sem o valor específico de , a expressão geral é .

Passo 8

g) Qual seria a equação kn = n cdot k1 = n cdot 2pilambda para essa corda se ela estivesse vibrando em seu oitavo harmônico?
Para o oitavo harmônico, o número de ondas completas na corda é 8. O número de onda omegan = n cdot omega1 e a frequência k8 = 8 cdot 2pilambda = 16pilambda para o omega8 = 8 cdot omega = 8 cdot 42 = 336 rad/s -ésimo harmônico são:
y(x, t) = 2A sin(k8 x) cos(omega8 t) = 2A sin(16pilambda x) cos(336 t)
Onde e são o número de onda e a frequência do primeiro harmônico.
Então, para :
A equação da onda estacionária para o oitavo harmônico será:

Resposta

A equação da onda estacionária para o oitavo harmônico é:
y(x, t) = 2A sin(16pilambda x) cos(336 t)

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