uma corda sâo idênticas, a Ambas obedecem à equasinal de mais ou menos lesloca. a) Mostre que a ão ométricas para sen ( nos lugares em que rativo.
na corda
são descritas pela e ponto . Calcule o fio e a) os nós da ionária.
de uma onda estama partícula situatude igual a 0,850 ore o eixo e se ia entre nós adjalitude e a velociessa configurama e mínima de cia ao longo da
a) Mediante sen é uma
ra
da para ondas írias.
diagrama que mostre a configuração da onda estacionária. b) Calcule a amplitude das duas ondas progressivas que compõem essa onda estacionária. c) Qual é o comprimento da corda? d) Calcule o comprimento de onda, a frequiência, o período e a velocidade das ondas progressivas. e) Calcule a velocidade transversal máxima de um ponto na corda. f) Qual seria a equação para essa corda se ela estivesse vibrando em seu oitavo harmônico?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre ondas estacionárias em uma corda onde duas ondas idênticas estão viajando em direções opostas. A gente vai precisar entender conceitos de ondas, como frequência, comprimento de onda, e como elas se combinam para formar uma onda estacionária. As informações que temos são:
  • Frequência angular, rad/s
  • Número de onda, rad/m
Vamos lá resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

a) Mostrar que a equação representa uma onda estacionária.
Primeiro, precisamos entender como duas ondas que viajam em direções opostas se combinam. Suponha que temos uma onda indo para a direita: e outra indo para a esquerda: .
Quando somamos essas duas ondas:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Essa é a equação de uma onda estacionária, onde a amplitude varia no espaço ( ) e o tempo ( ) separadamente.

Passo 3

b) Calcular os nós da onda estacionária.
Nós são os pontos na corda onde a amplitude da onda estacionária é sempre zero. Olhando para a equação , os nós ocorrem quando .
Resolvendo :
Isolando :
Substituindo :
Então, os nós estão localizados em metros, onde é um número inteiro.

Passo 4

c) Calcular a amplitude das duas ondas progressivas que compõem essa onda estacionária.
Na equação da onda estacionária, , o termo representa a amplitude máxima da onda estacionária. Isso vem da superposição das duas ondas progressivas, cada uma com amplitude .
Portanto, cada onda progressiva tem amplitude , e a amplitude da onda estacionária é .

Passo 5

d) Qual é o comprimento da corda?
Os nós na onda estacionária estão a uma distância de metros. O comprimento da corda ocorre entre dois nós consecutivos (quando aumenta de 0 para 1):
Esse é o segmento entre dois nós, que corresponde a metade do comprimento de onda ( ).
Então, o comprimento da corda para um modo específico depende do número de nós. Se considerarmos que a corda tem comprimento , então para o primeiro modo ( ):

Passo 6

e) Calcular o comprimento de onda, a frequência, o período e a velocidade das ondas progressivas.
Vamos calcular cada um desses parâmetros:
  1. Comprimento de onda ( ):
    Sabemos que entre dois nós consecutivos há :
  2. Frequência ( ):
    Relação entre frequência angular e frequência:
  3. Período ( ):
    Relação entre período e frequência:
  4. Velocidade ( ):
    Relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:

Passo 7

f) Calcular a velocidade transversal máxima de um ponto na corda.
A velocidade transversal máxima ( ) ocorre quando . A equação da onda estacionária é:
A derivada em relação ao tempo nos dá a velocidade:
A velocidade máxima ocorre quando :
Sem o valor específico de , a expressão geral é .

Passo 8

g) Qual seria a equação para essa corda se ela estivesse vibrando em seu oitavo harmônico?
Para o oitavo harmônico, o número de ondas completas na corda é 8. O número de onda e a frequência para o -ésimo harmônico são:
Onde e são o número de onda e a frequência do primeiro harmônico.
Então, para :
A equação da onda estacionária para o oitavo harmônico será:

Resposta

A equação da onda estacionária para o oitavo harmônico é:

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