Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial:
Psi(x, 0)=c A x, 0 <= x <= L2 A(L-x), L / 2 <= x <= L
Esboce Psi(x, 0) e determine a constante A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula num poço quadrado infinito e a função de onda inicial está definida por duas partes. Nosso objetivo aqui é desenhar esse gráfico e descobrir qual é a constante . Para isso, vamos precisar entender como a função de onda se comporta e garantir que ela esteja normalizada, ou seja, que a probabilidade total de encontrar a partícula no poço seja 1.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a função . Ela está definida de maneira diferente para e para .
  • Para , a função é . Isso significa que a função aumenta linearmente de 0 até .
  • Para , a função é . Isso faz com que a função diminua linearmente de de volta a 0.
Então, o gráfico vai ser uma espécie de “V”, com o ponto mais alto em .

Passo 3

Agora, precisamos determinar a constante integral0^L |Psi(x, 0)|^2 dx = 1 . Para isso, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa que a integral do quadrado da função de onda em todo o poço deve ser igual a 1, ou seja:

Passo 4

Vamos calcular essa integral dividindo-a em duas partes, conforme a definição da função de onda:
integral0^L |Psi(x, 0)|^2 dx = integral0^L2 (A x)^2 dx + integralL2^L [A(L - x)]^2 dx = 1
Simplificando:
A^2 ( integral0^L2 x^2 dx + integralL2^L (L - x)^2 dx ) = 1

Passo 5

Vamos resolver as integrais separadamente.
Primeira integral:
integral0^L2 x^2 dx = [ x^33 ]0^L2 = 13 ( L2 )^3 = L^324
Segunda integral:
Fazendo a substituição integralL2^L (L - x)^2 dx = integral0^L2 u^2 du = 13 ( L2 )^3 = L^324 , temos:
L^324 + L^324 = L^312
Somando as duas integrais:
A^2 times L^312 = 1 implies A^2 = 12L^3 implies A = raiz12L^3 = 2raiz3L^3/2
Então, temos:

Resposta

A constante é igual a .

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