Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial:
Esboce e determine a constante .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula num poço quadrado infinito e a função de onda inicial está definida por duas partes. Nosso objetivo aqui é desenhar esse gráfico e descobrir qual é a constante . Para isso, vamos precisar entender como a função de onda se comporta e garantir que ela esteja normalizada, ou seja, que a probabilidade total de encontrar a partícula no poço seja 1.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a função . Ela está definida de maneira diferente para e para .
  • Para , a função é . Isso significa que a função aumenta linearmente de 0 até .
  • Para , a função é . Isso faz com que a função diminua linearmente de de volta a 0.
Então, o gráfico vai ser uma espécie de “V”, com o ponto mais alto em .

Passo 3

Agora, precisamos determinar a constante . Para isso, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa que a integral do quadrado da função de onda em todo o poço deve ser igual a 1, ou seja:

Passo 4

Vamos calcular essa integral dividindo-a em duas partes, conforme a definição da função de onda:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver as integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Fazendo a substituição , temos:
Somando as duas integrais:
Então, temos:

Resposta

A constante é igual a .

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