Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial:
Esboce
e determine a constante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula num poço quadrado infinito e a função de onda inicial
está definida por duas partes. Nosso objetivo aqui é desenhar esse gráfico e descobrir qual é a constante
. Para isso, vamos precisar entender como a função de onda se comporta e garantir que ela esteja normalizada, ou seja, que a probabilidade total de encontrar a partícula no poço seja 1.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a função
. Ela está definida de maneira diferente para
e para
.
- Para
, a função é . Isso significa que a função aumenta linearmente de 0 até . - Para
, a função é . Isso faz com que a função diminua linearmente de de volta a 0.
Então, o gráfico vai ser uma espécie de “V”, com o ponto mais alto em
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar a constante
. Para isso, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa que a integral do quadrado da função de onda em todo o poço deve ser igual a 1, ou seja:
Passo 4
Vamos calcular essa integral dividindo-a em duas partes, conforme a definição da função de onda:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver as integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Fazendo a substituição
, temos:
Somando as duas integrais:
Então, temos:
Resposta
A constante
é igual a
.