Calcule os valores de m e n para que a reta r:(x, y, z)=(-2,3,0)+t(1,-2,2), t in R esteja contida no plano pi: m x+2 y-3 z+n=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma reta definida por e um plano com a equação . A missão é achar os valores de e pra que a reta esteja totalmente dentro do plano. Para resolver isso, precisamos entender sobre equações de reta e de plano e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que todo ponto da reta está no plano. Pega o ponto inicial da reta, que é quando m(-2) + 2(3) - 3(0) + n = 0 : -2m + 6 + n = 0 . Esse ponto deve satisfazer a equação do plano. Então, substituímos os valores na equação do plano:
-2m + n = -6 (Equação 1)
Simplificando:
Isso nos dá uma relação entre e :
çã

Passo 3

Agora, precisamos garantir que a direção da reta está dentro do plano. Isso significa que o vetor diretor da reta m(1) + 2(-2) + (-3)(2) = 0 deve ser perpendicular ao vetor normal do plano m - 4 - 6 = 0 m - 10 = 0 m = 10 . Para serem perpendiculares, o produto escalar deles deve ser zero:
Simplificando:

Passo 4

Com o valor de -2(10) + n = -6 -20 + n = -6 n = 14 encontrado, podemos substituí-lo na Equação 1 para achar :

Resposta

Os valores que fazem a reta estar contida no plano são e .

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