Encontre reta r3 que passa pela interseção das retas r1 e r2 abaixo sendo simultaneamente ortogonal a r1 e a r2.
r1:(x, y, z)=(2,-1,0)+t(1,2,3), t in R e r2:(x, y, z)=(1,0,2)+t(-1,1,2), t in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma reta que passa pela interseção das retas e e que seja ortogonal a ambas. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço e condições de ortogonalidade. Para resolver isso, vamos precisar identificar o ponto de interseção das retas e e depois encontrar uma direção que seja perpendicular às direções dessas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as direções das retas e .
  • Para , a direção é o vetor .
  • Para , a direção é o vetor .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o ponto de interseção das retas 2 + t1 = 1 - t2 -1 + 2t1 = t2 0 + 3t1 = 2 + 2t2 e . Para isso, igualamos as equações das retas:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .

Passo 4

Da segunda equação, já temos t2 = -1 + 2t1 em função de 2 + t1 = 1 - (-1 + 2t1) 2 + t1 = 1 + 1 - 2t1 2 + t1 = 2 - 2t1 t1 + 2t1 = 2 - 2 3t1 = 0 t1 = 0 :
Substituímos esse valor na primeira equação:

Passo 5

Com t2 = -1 + 2(0) = -1 , encontramos r1(0) = (2, -1, 0) + 0(1, 2, 3) = (2, -1, 0) :
Agora, substituímos na equação de para encontrar o ponto de interseção:
Então, o ponto de interseção é .

Passo 6

Agora que temos o ponto de interseção, precisamos encontrar a direção da reta d3 = d1 times d2 que é ortogonal a d3 = i & j & k 1 & 2 & 3 -1 & 1 & 2 = i(2 times 2 - 3 times 1) - j(1 times 2 - 3 times -1) + k(1 times 1 - 2 times -1) e d3 = i(4 - 3) - j(2 + 3) + k(1 + 2) d3 = i(1) - j(5) + k(3) d3 = (1, -5, 3) . Para isso, usamos o produto vetorial dos vetores de direção e :
Calculando o produto vetorial:

Passo 7

Com o ponto r3: (x, y, z) = (2, -1, 0) + t(1, -5, 3), t in R e a direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta :

Resposta

A reta r3: (x, y, z) = (2, -1, 0) + t, (1,, -5,, 3), t in R que passa pela interseção de e e é ortogonal a ambas é:

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