Encontre reta que passa pela interseção das retas e abaixo sendo simultaneamente ortogonal a e a . e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma reta que passa pela interseção das retas e e que seja ortogonal a ambas. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço e condições de ortogonalidade. Para resolver isso, vamos precisar identificar o ponto de interseção das retas e e depois encontrar uma direção que seja perpendicular às direções dessas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as direções das retas e .
Para , a direção é o vetor .
Para , a direção é o vetor .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o ponto de interseção das retas e . Para isso, igualamos as equações das retas:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e .
Agora, substituímos na equação de para encontrar o ponto de interseção:
Então, o ponto de interseção é .
Passo 6
Agora que temos o ponto de interseção, precisamos encontrar a direção da reta d3 = d1 times d2 que é ortogonal a d3 = i & j & k 1 & 2 & 3 -1 & 1 & 2 = i(2 times 2 - 3 times 1) - j(1 times 2 - 3 times -1) + k(1 times 1 - 2 times -1) e d3 = i(4 - 3) - j(2 + 3) + k(1 + 2) d3 = i(1) - j(5) + k(3) d3 = (1, -5, 3) . Para isso, usamos o produto vetorial dos vetores de direção e :
Calculando o produto vetorial:
Passo 7
Com o ponto r3: (x, y, z) = (2, -1, 0) + t(1, -5, 3), t in R e a direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta :
Resposta
A reta r3: (x, y, z) = (2, -1, 0) + t, (1,, -5,, 3), t in R que passa pela interseção de e e é ortogonal a ambas é: