Sejam e O B dois vetores não colineares no espaço. Qual o conjunto dos pontos P tais que O P=lambda O A+(1-lambda) O B ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá dois vetores não colineares no espaço, chamados de OA e OB. A gente precisa descobrir qual é o conjunto de todos os pontos P que satisfazem a equação OP = lambda OA + (1-lambda) OB. Então, vamos usar conceitos de álgebra vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. Ela diz que o vetor OP (que vai da origem O até o ponto P) é uma combinação dos vetores OA e OB, onde lambda é um número real qualquer. Isso é o que chamamos de combinação linear de vetores.
Passo 3
Como OA e OB não são colineares, eles não estão na mesma linha reta. Isso significa que eles definem um plano no espaço. Toda combinação linear desses dois vetores vai gerar pontos que estão nesse plano.
Passo 4
Vamos analisar a equação OP = lambda OA + (1-lambda) OB. Se expandirmos, temos:
OP = lambda OA + OB - lambda OB = OB + lambda (OA - OB)
Isso mostra que P está na reta que passa por B na direção de A.
Passo 5
O parâmetro lambda pode variar livremente entre todos os números reais. Quando lambda = 0, OP = OB, ou seja, P é o ponto B. Quando lambda = 1, OP = OA, então P é o ponto A. Valores de lambda entre 0 e 1 dão pontos entre A e B, enquanto valores fora desse intervalo estendem a linha além de A e B.
Passo 6
Portanto, o conjunto de todos os pontos P que satisfazem a equação é uma reta infinita que passa pelos pontos A e B.
Resposta
O conjunto dos pontos P é a reta que passa pelos pontos A e B no espaço.