Calcule os valores máximo e mínimo da função f(x) = 2*x^3 - 9*x^2 + 12*x + 3 no intervalo [0,3].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar os valores máximo e mínimo da função no intervalo de de 0 a 3. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente cálculo diferencial, onde usamos derivadas para encontrar pontos onde a função pode ter picos ou vales. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar os pontos críticos e depois avaliar a função nesses pontos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos ajuda a encontrar as inclinações da função e identificar onde ela muda de crescente para decrescente ou vice-versa. A derivada de é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero ou onde a derivada não existe. Como nossa derivada é um polinômio, ela existe para todos os valores de , então só precisamos resolver :

Passo 4

Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:
Isso facilita a resolução da equação quadrática.

Passo 5

Agora, vamos fatorar a equação quadrática . Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2, então:

Passo 6

Resolvendo cada fator igual a zero:
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 7

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e também nas extremidades do intervalo, ou seja, em e .
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 8

Agora, com os valores calculados:
Vamos comparar esses valores para encontrar o máximo e o mínimo no intervalo.

Passo 9

Observando os valores:
  • Mínimo: O menor valor é 3, que ocorre em .
  • Máximo: O maior valor é 12, que ocorre em .

Resposta

No intervalo , a função tem um valor mínimo de 3 em e um valor máximo de 12 em .

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