Calcule os valores máximo e mínimo da função
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar os valores máximo e mínimo da função
no intervalo de
de 0 a 3. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente cálculo diferencial, onde usamos derivadas para encontrar pontos onde a função pode ter picos ou vales. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar os pontos críticos e depois avaliar a função nesses pontos e nas extremidades do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos ajuda a encontrar as inclinações da função e identificar onde ela muda de crescente para decrescente ou vice-versa. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é igual a zero ou onde a derivada não existe. Como nossa derivada é um polinômio, ela existe para todos os valores de
, então só precisamos resolver
:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:
Isso facilita a resolução da equação quadrática.
Passo 5
Agora, vamos fatorar a equação quadrática
. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2, então:
Passo 6
Resolvendo cada fator igual a zero:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 7
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e também nas extremidades do intervalo, ou seja, em
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 8
Agora, com os valores calculados:
Vamos comparar esses valores para encontrar o máximo e o mínimo no intervalo.
Passo 9
Observando os valores:
- Mínimo: O menor valor é 3, que ocorre em
. - Máximo: O maior valor é 12, que ocorre em
.
Resposta
No intervalo
, a função
tem um valor mínimo de 3 em
e um valor máximo de 12 em
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo:
.
Suponha que
represente uma distribuição de temperatura no plano
. (Admita que
e
sejam dados em
e a temperatura em
.) Um indivíduo encontra-se na posição
e pretende dar um passeio. Qual a direção e sentido que ele deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de maior crescimento da temperatura? Qual é a maior taxa de variação instantânea de temperatura nesse ponto?
Um isótopo de sódio
, tem uma vida média de 15 horas. Uma mostra desse isótopo tem massa 2 g .
© Calcule a quantidade remanescente após 4 dias.
© Calcule a quantidade remanescente após 4 dias.
Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
, onde
.