Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo: f(x) = x^2 * raiz(1 - x^2), onde x em [-1, 1].

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar e classificar os pontos críticos da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a encontrar esses pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos indica onde a função tem inclinação zero ou onde ela não está definida, que são os pontos críticos.

Passo 3

A função pode ser reescrita como . Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 4

Aplicando a regra do produto, temos:
Calculando as derivadas:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Simplificando:
Para facilitar, podemos colocar os termos sobre um denominador comum:

Passo 6

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver ou encontrar onde não está definida.
O numerador deve ser zero:
Fatorando:
Isso nos dá:
Resolvendo :

Passo 7

Também devemos considerar onde a derivada não está definida. O denominador não está definido quando , ou seja, . Esses pontos estão nos limites do intervalo dado.

Passo 8

Agora, temos os possíveis pontos críticos em:

Passo 9

Para classificar esses pontos críticos, vamos analisar o comportamento da função em torno de cada um, verificando se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 10

Calculando nesses pontos:
  • Em e : e
  • Em :
  • Em :

Resposta

Os pontos críticos da função no intervalo são:
  • e : Pontos de mínimo local com
  • : Ponto de mínimo local com
  • : Pontos de máximo local com

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