Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo: , onde .
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar e classificar os pontos críticos da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a encontrar esses pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos indica onde a função tem inclinação zero ou onde ela não está definida, que são os pontos críticos.
Passo 3
A função pode ser reescrita como . Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 4
Aplicando a regra do produto, temos:
Calculando as derivadas:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Simplificando:
Para facilitar, podemos colocar os termos sobre um denominador comum:
Passo 6
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver ou encontrar onde não está definida.
O numerador deve ser zero:
Fatorando:
Isso nos dá:
Resolvendo :
Passo 7
Também devemos considerar onde a derivada não está definida. O denominador não está definido quando , ou seja, . Esses pontos estão nos limites do intervalo dado.
Passo 8
Agora, temos os possíveis pontos críticos em:
Passo 9
Para classificar esses pontos críticos, vamos analisar o comportamento da função em torno de cada um, verificando se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.