Suponha que
represente uma distribuição de temperatura no plano
. (Admita que
e
sejam dados em
e a temperatura em
.) Um indivíduo encontra-se na posição
e pretende dar um passeio. Qual a direção e sentido que ele deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de maior crescimento da temperatura? Qual é a maior taxa de variação instantânea de temperatura nesse ponto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a distribuição de temperatura no plano
é dada por
. Queremos descobrir em que direção e sentido uma pessoa deve andar a partir do ponto
para sentir o maior aumento na temperatura. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função temperatura, que nos indica a direção de maior crescimento, e calcular a taxa de variação máxima nessa direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Então, o gradiente de
é:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto
:
Passo 5
A direção de maior crescimento da temperatura é na direção do gradiente. Para encontrar o sentido, normalizamos o vetor gradiente para obter um vetor unitário. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
Então, o vetor unitário na direção do gradiente é:
Isso significa que a pessoa deve caminhar na direção do vetor
para sentir o maior aumento na temperatura.
Passo 6
A maior taxa de variação instantânea da temperatura no ponto
é igual à magnitude do gradiente nesse ponto. Já calculamos que:
Então, a maior taxa de variação é
.
Resposta
A pessoa deve caminhar na direção do vetor
para sentir o maior aumento de temperatura. A maior taxa de variação instantânea da temperatura nesse ponto é
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo:
.
Suponha que
represente uma distribuição de temperatura no plano
. (Admita que
e
sejam dados em
e a temperatura em
.) Um indivíduo encontra-se na posição
e pretende dar um passeio. Qual a direção e sentido que ele deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de menor crescimento da temperatura? Qual é a menor taxa de variação instantânea de temperatura nesse ponto?
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo:
.
Calcule os valores máximo e mínimo da função
no intervalo
.