Suponha que T(x, y) = 40 - x^2 - 2y^2 represente uma distribuição de temperatura no plano x y. (Admita que x e y sejam dados em k m e a temperatura em C.) Um indivíduo encontra-se na posição (3,2) e pretende dar um passeio. Qual a direção e sentido que ele deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de maior crescimento da temperatura? Qual é a maior taxa de variação instantânea de temperatura nesse ponto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a distribuição de temperatura no plano é dada por . Queremos descobrir em que direção e sentido uma pessoa deve andar a partir do ponto para sentir o maior aumento na temperatura. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função temperatura, que nos indica a direção de maior crescimento, e calcular a taxa de variação máxima nessa direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Então, o gradiente de é:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto :

Passo 5

A direção de maior crescimento da temperatura é na direção do gradiente. Para encontrar o sentido, normalizamos o vetor gradiente para obter um vetor unitário. A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
Então, o vetor unitário na direção do gradiente é:
Isso significa que a pessoa deve caminhar na direção do vetor para sentir o maior aumento na temperatura.

Passo 6

A maior taxa de variação instantânea da temperatura no ponto é igual à magnitude do gradiente nesse ponto. Já calculamos que:
Então, a maior taxa de variação é .

Resposta

A pessoa deve caminhar na direção do vetor para sentir o maior aumento de temperatura. A maior taxa de variação instantânea da temperatura nesse ponto é .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções definidas abaixo: f(x) = x^2 / (1 + x^2).
Suponha que T(x, y) = 40 - x^2 - 2y^2 represente uma distribuição de temperatura no plano x y. (Admita que x e y sejam dados em k m e a temperatura em C.) Um indivíduo encontra-se na posição (3,2) e pretende dar um passeio. Qual a direção e sentido que ele deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de menor crescimento da temperatura? Qual é a menor taxa de variação instantânea de temperatura nesse ponto?
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo: f(x) = x^2 * 3^(x * sen(x)).
Calcule os valores máximo e mínimo da função f(x) = 2*x^3 - 9*x^2 + 12*x + 3 no intervalo [0,3].