Calcule os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano pi.
34. Estabeleça uma equação reduzida na variável x da reta de interseção entre os planos
pi1: 3 x+y-3 z-5=0 e pi2: x-y-z-3=0

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois planos:
pi1: 3x + y - 3z - 5 = 0 pi2: x - y - z - 3 = 0
O objetivo é encontrar a equação reduzida na variável da reta de interseção entre esses dois planos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e a reta que os une.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a interseção de dois planos gera uma reta, a menos que os planos sejam paralelos ou coincidentes. Para encontrar essa reta, vamos resolver o sistema formado pelas equações dos dois planos.
Temos o sistema:
3x + y - 3z = 5 &(1) x - y - z = 3 &(2)

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar as coordenadas 3x + y - 3z + x - y - z = 5 + 3 4x - 4z = 8 que satisfazem ambas as equações. Podemos usar o método da substituição ou da combinação linear. Aqui, vamos usar a combinação linear para eliminar uma das variáveis.
Vamos somar as duas equações para eliminar 4x - 4z = 8 x - z = 2 (3) :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos expressar uma das variáveis em termos de outra. Pela equação (3):
x = z + 2
Vamos chamar x = t + 2 , onde é o parâmetro. Assim:

Passo 5

Com x - y - z = 3 (t + 2) - y - t = 3 (t + 2) - y - t = 3 2 - y = 3 -y = 1 y = -1 expresso em termos de , vamos substituir na equação (2) para encontrar :

Passo 6

Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de x = t + 2 y = -1 z = t :
Essa é a parametrização da reta de interseção entre os planos e .

Passo 7

Para estabelecer a equação reduzida na variável t = x - 2 , podemos eliminar o parâmetro z = x - 2 . Da equação , isolamos :
Substituindo em :
E , que é constante.

Resposta

A equação reduzida da reta de interseção entre os planos y = -1 e z = x - 2 e na variável é:

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