Calcule os valores de e para que a reta esteja contida no plano .
34. Estabeleça uma equação reduzida na variável da reta de interseção entre os planos
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois planos:
O objetivo é encontrar a equação reduzida na variável da reta de interseção entre esses dois planos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e a reta que os une.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a interseção de dois planos gera uma reta, a menos que os planos sejam paralelos ou coincidentes. Para encontrar essa reta, vamos resolver o sistema formado pelas equações dos dois planos.
Temos o sistema:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar as coordenadas que satisfazem ambas as equações. Podemos usar o método da substituição ou da combinação linear. Aqui, vamos usar a combinação linear para eliminar uma das variáveis.
Vamos somar as duas equações para eliminar :
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos expressar uma das variáveis em termos de outra. Pela equação (3):
Vamos chamar , onde é o parâmetro. Assim:
Passo 5
Com expresso em termos de , vamos substituir na equação (2) para encontrar :
Passo 6
Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de :
Essa é a parametrização da reta de interseção entre os planos e .
Passo 7
Para estabelecer a equação reduzida na variável t = x - 2 , podemos eliminar o parâmetro z = x - 2 . Da equação , isolamos :
Substituindo em :
E , que é constante.
Resposta
A equação reduzida da reta de interseção entre os planos y = -1 e z = x - 2 e na variável é: