Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.
c)
Passo 1
Vamos resolver o sistema linear homogêneo dado:
Aqui, estamos trabalhando com um sistema de equações lineares. Nosso objetivo é encontrar uma base para o espaço solução desse sistema e determinar sua dimensão. Para isso, vamos usar métodos de eliminação para simplificar o sistema e encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis. A segunda equação é mais simples:
Podemos resolver para :
Isso expressa em termos de , tornando uma variável livre.
Passo 3
Agora, substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Assim, também está em termos de .
Passo 4
Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de :
Podemos parametrizar a solução usando , onde é um parâmetro real.
Passo 5
Expressando as soluções em termos de x1 &= -5 t x2 &= 7 t x3 &= t :
x1 x2 x3 = t -5 7 1
Isso pode ser escrito como um vetor:
Passo 6
A solução geral do sistema é um múltiplo escalar do vetor -5 7 1 . Isso significa que o espaço solução é gerado por esse único vetor.
Resposta
Uma base do espaço solução é ,-5,,7,,1, e a dimensão desse espaço é 1.