Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.
c)
& 2 x1+x2+3 x3=0 & x1 +5 x3=0

Passo 1

Vamos resolver o sistema linear homogêneo dado:
& 2 x1 + x2 + 3 x3 = 0 & x1 + 5 x3 = 0
Aqui, estamos trabalhando com um sistema de equações lineares. Nosso objetivo é encontrar uma base para o espaço solução desse sistema e determinar sua dimensão. Para isso, vamos usar métodos de eliminação para simplificar o sistema e encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis. A segunda equação é mais simples:
x1 + 5 x3 = 0
Podemos resolver para x1 = -5 x3 :
Isso expressa em termos de , tornando uma variável livre.

Passo 3

Agora, substituímos 2(-5 x3) + x2 + 3 x3 = 0 na primeira equação:
-10 x3 + x2 + 3 x3 = 0 x2 - 7 x3 = 0 x2 = 7 x3
Simplificando:
Assim, também está em termos de .

Passo 4

Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de x1 = -5 x3 x2 = 7 x3 x3 = x3 :
Podemos parametrizar a solução usando , onde é um parâmetro real.

Passo 5

Expressando as soluções em termos de x1 &= -5 t x2 &= 7 t x3 &= t :
x1 x2 x3 = t -5 7 1
Isso pode ser escrito como um vetor:

Passo 6

A solução geral do sistema é um múltiplo escalar do vetor -5 7 1 . Isso significa que o espaço solução é gerado por esse único vetor.

Resposta

Uma base do espaço solução é ,-5,,7,,1, e a dimensão desse espaço é 1.

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