Calcule a variação do custo C = C(x), quando o número x de unidades produzidas de certo produto aumenta de 500 para 505 onde seu custo marginal será:
C M g(x) = 2500 / x^2

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função de custo que depende do número de unidades produzidas . A tarefa é calcular quanto o custo vai variar quando a produção aumenta de 500 para 505 unidades. Para isso, a gente vai usar o conceito de custo marginal, que é basicamente o custo de produzir uma unidade a mais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é custo marginal. O custo marginal indica quanto o custo total muda quando aumentamos a produção em uma unidade. No caso, a função do custo marginal é dada por:
Isso significa que o custo de produzir uma unidade a mais diminui conforme a produção aumenta, já que está no denominador.

Passo 3

Para calcular a variação do custo quando a produção aumenta de 500 para 505 unidades, precisamos integrar a função de custo marginal nesse intervalo. A variação do custo é dada por:
Integrar essa função nos dá a mudança total no custo para esse aumento na produção.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
A antiderivada de é , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Multiplicando por 2500:

Resposta

A variação do custo quando a produção aumenta de 500 para 505 unidades é aproximadamente $0,05.

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